Question

Beweisen Sie: Es sei (x_n)_n∈N eine Folge in R. Ist (x_n)_n∈N konvergent, dann ist (x_n)_n∈N eine Cauchy-Folge.

Answer 1

Der Grenzwert der konvergenten Folge \((x_n)\) sei \(a\). Dann gibt es

zu jedem \(\epsilon>0\) ein \(N\), so dass \(|x_n-a|\lt \epsilon/2\)

für alle \(n\geq N\), daher

\(|x_n-x_m|=|x_n-a+a-x_m|\leq |x_n-a|+|a-x_m|=\)

\(=|x_n-a|+|x_m-a|\lt \epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon\) für alle \(m,n\geq N\).