Basis aus Erzeugendensystem aufstellen?

Question

Ich versuche gerade aus einem Erzeugendensystem eine Basis aufzustellen und weiß, dass ich dafür erst einmal den Gauß-Algorithmus anwenden muss, um die Dimension zu bestimmen und dann diejenigen Vektoren auswählen muss, die zu Beginn einer neuen Stufe stehen.

Allerdings blicke ich nicht so ganz durch, warum ich genau diese auswählen muss. Ich weiß zwar, dass dieses Verfahren nicht eindeutig ist und es unendlich viele Lösungen gibt, aber warum mir gerade das Auswählen der Spalten nach einem Beginn einer neuen Stufe diese Vektoren liefert, weiß ich nicht.

Wisst ihr vielleicht, warum dass so ist?

Answer 1

Für eine Basis brauchst du linear unabhängige Vektoren.

Wenn welche auf der gleichen Stufe sind, können sie aber linear abhängig sein ,

Bzw, wenn man oben anfängt und nimmt von jeder Stufe einen und dann von

einer Stufe 2,  dann wird der zweite von der gleichen Stufe  mit den

vorangegangenen zusammen ein linear abhängiges System bilden.