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Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu a) Wir schreiben das Erzeugendensystem von \(V\) bezüglich der Basis \(S=(1;x;x^2)\) in Vektorschreibweise:$$V=\left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}_S,\pink{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}_S},\pink{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}_S},\pink{\begin{pmatrix}0\\17\\4\end{pmatrix}_S},\begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}_S,\begin{pmatrix}0\\1\\\frac12\end{pmatrix}_S\right\}$$Zur Wahl einer Basis reicht es aus, drei linear unabhängige Vektoren auszuwählen.
Man erkennt sofort, dass die Determinante der drei pink gefärbten Vektoren$$\begin{vmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 4 & 17\\1 & 1 & 4\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}4 & 17\\1 & 4\end{vmatrix}=2\cdot(16-17)=-2\ne0$$von Null verschieden ist, sodass diese 3 Vektoren linear unabhängig sind.
Wir wählen daher als Basis von \(V\):$$B=\left\{2+x^2\;;\;4x+x^2\;;\;17x+4x^2\right\}$$
zu b) Wir nutzen wieder die Basis \(S=(1;x;x^2)\) zur Berechnung:$$12+5x-2x^2=\begin{pmatrix}12\\5\\-2\end{pmatrix}_S=a\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}_S+b\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}_S+c\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}_S$$Die 3-te Komponente wird allein durch \(c\) bestimmt:$$-2=c\cdot(-3)\implies \pink{c=\frac23}$$Die 2-te Komponente wird durch \(b\) und \(c\) bestimmt:$$5=b\cdot(-1)+c\cdot2\implies b=2c-5=2\cdot\frac23-5=\frac43-\frac{15}{3}\implies \pink{b=-\frac{11}{3}}$$Die 1-te Komponente liefert uns schließlich den Wert für \(a\):$$12=3a+b+c=3a-\frac{11}{3}+\frac{2}{3}=3a-3\implies 3a=15\implies \pink{a=5}$$
Damit haben wir die Darstellung gefunden:$$12+5x-2x^2=\pink5\cdot3-\pink{\frac{11}{3}}\cdot(1-x)+\pink{\frac23}\cdot(1+2x-3x^2)$$
