Welche Punkte in der Gaußschen Zahlenebene entsprechen den Komplexen Zahlen?

Question

Aufgabe:

Ich stehe kurz vor einer Prüfung und habe noch nicht ganz verstanden wie Ich Lösungen einer Komplexen Ungleichung (mit Beträgen) auf der Gaußschen Zahlenebene angeben kann.

Dazu folgende Aufgaben:

Welche Punkte in der Gauß'schen Zahlenebene entsprechen den Zahlen \( z \in\mathbb{C} \) mit:

(i) \( |z+1|>|z+j| \)

(ii) \( z \cdot z^{*}-8 \leq \frac{z \cdot z^{*}-4}{|z|+2} \)

Problem/Ansatz:

Ich kenne den Ansatz für z=a+bj einzusetzen um dann auf die Kreisgleichung zu kommen, die mir ja die Lösungsmenge gibt.

Answer 1

Bei  | z+1| > | z+j | würde ich so vorgehen:

  | z+1|  ist ja der Abstand von z zum Punkt  -1+0*j , also zur -1 auf der reellen

Achse. Entsprechend  | z+j | Abstand von -j (also -1 auf der imaginären Achse.)

Es sind auf der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten die Abstände gleich.

Da nun   | z+1|  größer sein soll, ist das die Halbebene "unterhalb" der Winkelhalbierenden.

Comments

Die Lösung gefällt mir. Kann ich mir bildlich gut vorstellen.

Kann man das mathematisch irgendwie gut verfassen?

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Ich hatte es mal auf diesem Weg probiert:

Das passt irgendwie nicht zu dem Bild was ich von deiner lösung habe.

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Ok Tut mir leid, das passt doch :D

Danke für die Hilfe!!

Answer 2

Zu 1)

Mit  \( z = a+ib \) folgt $$ \sqrt{ (a+1)^2 + b^2 } > \sqrt{ a^2 + (b+1)^2 }  $$ oder $$ a^2 +2a + b^2 +1 > a^2 + b^2 + 2b + 1 $$ also $$ a > b $$

Zu 2)

Mit \( z z^* = r^2 \) folgt, dass gelten soll $$  r^2 - 8 \le \frac{ r^2 - 4 }{ r + 2 } $$ oder $$  f(r) = r^3 + r^2 -8r -12 \le 0 $$

Es gilt \( f(r) = (r-3) (r+2)^2 \le 0 \) Also $$ r-3 \le 0 $$ oder $$ 0 \le r \le 3 $$

Comments

Wäre das also die Lösungsmenge?

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Genau..............

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wieso kann ich das (x+2)^2 einfach weglassen?

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Was meinst Du damit? Bei mir steht nirgends dieser Ausdruck und in der Aufgabenstellung auch nicht.

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Entschuldigung meinte natürlich (r+2)^2

Du hattest (r-3)(r+2)^2 <= 0

=> (r-3)<=0

Die Frage ist warum das (r+2)^2 einfach weg fällt.

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Weil immer \( (r+2)^2> 0 \) gilt. Also kann der ganze Ausdruck nur kleiner oder gleich Null werden, wenn gilt \( r-3 \le 0 \)

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Ok vielen Dank das hat geholfen :D