Beweise, dass ein Ring kommutativ ist

Question

Guten Tag
Ich hätte hier eine Frage:

Sei R ein Ring mit 10 Elementen. Beweise, dass R kommutativ ist.

Vielen Dank für eure Antworten.

Liebe Grüsse

Comments

Also ich habe überlegt, dass die additive Gruppe (R,+)
als abelsche Gruppe nur vom Isomorphietyp
Z2×Z5 oder Z10 ist, wobei Zn eine zyklische Gruppe
der Ordnung n bedeuten soll.
Nun ist aber bekanntermaßen Z2×Z5≅Z10, d.h.
(R,+) ist zyklisch.

(Also mit Z2xZ5 ist nicht das direkte Produkt von Ringen gemeint)

Da aber (R,+) eine zyklische additive Gruppe ist, gibt es ein a∈R,
so dass die Elemente von R die Gestalt 0,a,a+a,a+a+a,⋯,9⋅a
haben. Die Multiplikation zweier solcher Elemente ist offenbar kommutativ laut dem Distributivgesetz. 

Das ist das was ich bisher überlegt habe, komme aber nicht weiter wie ich dies jetzt abschliessend beweisen soll aber ich versuche jetzt mal noch mit deiner Überlegung weiter zu kommen...

Answer 1

Aus was besteht denn ein Ring so?

Ein Ring \((R,+,\cdot)\) besteht zuallererst aus einer abelschen Gruppe \((R,+)\). Diese abelsche Gruppe muss 10 Elemente haben, also ist sie isomorph zu...? (Klassifikation endlicher abelscher Gruppen!)

Dann kannst du ab jetzt so tun, als ob dein Ring einfach nur \((G,+,\cdot')\) wär, wobei \((G,+)\) die Gruppe ist, die du vorhin herausgefunden hast und die Multiplikation \(\cdot'\) über den Isomorphismus von \(R\) erhalten wird.

Wie sieht denn Multiplikation in \(G\) aus? Schreib mal \(a = 1+\ldots+1\) (a Einsen) und \(b = 1+\ldots+1\) (b Einsen), wie sieht dann \(a\cdot b\) aus? Wie sieht \(b\cdot a\) aus?