Ist der Ring wirklich kommutativ?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden (noch teilweise unvollständigen) Operationstafeln den Operationen \( \diamond \) und \( \odot \) auf der vierelementigen Menge \( M=\{a, b, c, d\} \)

Text erkannt:

\begin{tabular}{c|llll}
\( \diamond \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) & \( d \) \\
\hline\( a \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) & \( d \) \\
\( b \) & \( b \) & \( a \) & \( d \) & \( c \) \\
\( c \) & \( c \) & \( d \) & \( a \) & \( b \) \\
\( d \) & \( d \) & \( c \) & \( b \) & \( a \)
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|cccc}
\( \odot \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) & \( d \) \\
\hline\( a \) & \( a \) & \( a \) & \( a \) & \( a \) \\
\( b \) & \( a \) & \( b \) & & \\
\( c \) & \( a \) & & & \( c \) \\
\( d \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) &
\end{tabular}

(a) Ergänze unter Verwendung des Distributivgesetzes die Operationstafel für \( \odot \) so, dass \( M \) mit \( \odot \) und \( \odot \) ein Ring wird ( \( \odot \) soll distributiv über \( \diamond \) sein) .
(b) Ist der Ring kommutativ?

Problem/Ansatz:

Wie kann man dieses Beispiel lösen?

Answer 1

Erst mal   d \( \odot \) d bestimmen.

Dabei hilft die Vorgabe   d \( \odot \) b =  b

Und wenn man links das b durch d\( \diamond \)c ersetzt:

d \( \odot \) (d\( \diamond \)c )=  b

und es soll ja distributiv sein

( d \( \odot \) d ) \( \diamond \) (d \( \odot \) c)=  b

und  d \( \odot \) c = c verwenden gibt

(d \( \odot \) d ) \( \diamond \)  c =  b

In der Tabelle von \( \diamond \) ist aber d

das einzige Element, das mit c das b ergibt,

also  d \( \odot \) d = d .

In der Art bekommst du auch die anderen

freien Stellen heraus.

Comments

Okay danke jetzt weiß ich wie ich vorgehen kann, mit welchem ?\( \odot \)? würdest du weiter vorgehen, hab schon ein paar Kombinationen probiert aber die halfen mir alle kaum weiter

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Vielleicht hilft es, wenn man die Assoziativität hinzu nimmt.

Bei einem Ring müsste die ja auch gelten.

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Text erkannt:

\begin{tabular}{c|cccc}
\( \odot \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) & \( d \) \\
\hline\( a \) & \( a \) & \( a \) & \( a \) & \( a \) \\
\( b \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) & \( b . \) \\
\( c \) & \( a \) & \( c \) & 0 & \( c \) \\
\( d \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) & \( d \)
\end{tabular}

Das wäre jetzt meine Lösung, denkst du das könnte stimmen?

Mit dieser Lösung wäre nach b) der Ring nicht kommutativ, richtig?

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Mit dieser Lösung wäre nach b) der Ring nicht kommutativ, richtig?

Wenn du den ersten und den zweiten "Faktor" vertauschst, bekommst du die gleiche Tabelle (spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonale).

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Ja stimmt danke