Zwei Produktzeichen. Wie kommt man auf diesen vereinfachten Ausdruck?

Question

ich wollte mal fragen, ob ihr vielleicht seht, wie man auf diese Vereinfachung kommt:

$$(n+1)^{E}\prod \limits_{k=1}^{n+1}(1-\frac{E}{k})-n^E\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{E}{k})$$

$$=(n+1)^E(1-\frac{E}{n+1})-n^E$$

Ich komme zwar auf die $$(n+1)^E(1-\frac{E}{n+1})$$ aber weiß nicht wie den Rest zu $$-n^E$$ zusammenfassen kann.

Könnt ihr mir vielleicht helfen?

VG

Comments

Gibt es nun einen (verborgenen) Zusammenhang zu https://www.mathelounge.de/671863/wie-kann-ich-die-gultigkeit-dieser-ungleichung-zeigen oder nicht?

Wie lautet die korrekte Fragestellung?

Answer 1

\((n+1)^{E}\prod \limits_{k=1}^{n+1}(1-\frac{E}{k})-n^E\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{E}{k})\)

\(=(n+1)^{E}(1-\frac{E}{n+1})\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{E}{k})-n^E\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{E}{k})\)

\(=((n+1)^{E}(1-\frac{E}{n+1})-n^E)\prod \limits_{k=1}^{n}(1-\frac{E}{k})\)

Wieso das Produkt verschwindet, kann ich dir auch nicht sagen.

Deiner anderen Frage entnehme ich, dass vermutlich das E ein \(\varepsilon\) sein soll. Aber zum Raten habe ich jetzt keine Lust.

Answer 2

\( f(\epsilon, n)=(n+1)^{\epsilon} \prod \limits_{k=1}^{n+1}\left(1-\frac{\epsilon}{k}\right)-n^{\epsilon} \prod \limits_{k=1}^{n}\left(1-\frac{\epsilon}{k}\right) \\ g(\epsilon, n)=(n+1)^{\epsilon}\left(1-\frac{\epsilon}{n+1}\right)-n^{\epsilon} \\ d(\epsilon, n)=f(\epsilon, n)-g(\epsilon, n) \)

\( ε = 0, 0.01 ... 1 \quad n := 2 \)

Gleichheit gilt also nicht.