Wie bestimmt man a und b so, dass f (x) stetig differenzierbar ist.

Question

Aufgabe:

             a · e^bx      , x > 0
f(x) =    sinh(x) + 1, x ≤ 0

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich hier a und b so, dass f(x) stetig differenzierbar ist?

Ich weiß, dass eine Funktion 
f(x) stetig differenzierbar heißt in x = a, wenn f′(x) in x = a stetig ist. 

Answer 1

Aloha :)

Aus differenzierbar folgt stetig. Oder andersrum, damit eine Funktion differenzierbar ist, muss sie stetig sein:

$$\lim\limits_{x\searrow0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(ae^{bx}\right)=ae^0=a$$$$\lim\limits_{x\nearrow0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(\sinh(x)+1\right)=0+1=1$$Reichtsseitiger und linksseitiger Grenzwert müssen gleich sein \(\Rightarrow\;\;a=1\).

Nun können wir beide Funktionen ableiten und setzen direkt \(a=1\) ein:

$$f'(x)=\left\{\begin{array}{l}be^{bx}&x>0\\\cosh(x)&x<0\end{array}\right.$$

Stetig differnzierbar heißt, dass auch die Ableitung stetig sein muss. Wir wiederholen daher die Überlegungen von oben für die Ableitung:

$$\lim\limits_{x\searrow0}f'(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(be^{bx}\right)=be^0=b$$$$\lim\limits_{x\nearrow0}f'(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\cosh(x)=\cosh(0)=1$$

Reichtsseitiger und linksseitiger Grenzwert müssen gleich sein \(\Rightarrow\;\;b=1\).

Comments

Dankeschön! Das hat mir wirklich sehr geholfen!!

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@Tschaka

\(f'(x)=\left\{\begin{array}{l}be^{bx}&x>0\\\cosh(x)&x\le0\end{array}\right.\)

Das  ≤  unten rechts (genauer: das =) gilt doch wohl nur, wenn b=1 ist. Das ist aber an dieser Stelle deiner Argumentation noch nicht überprüft.

Sonst hat man

\( \lim\limits_{x\to0+} f^{'}(x)=b\)  und \( \lim\limits_{x\to0-} f^{'}(x)=1\)

Die Tangente in x=0 wäre dann nicht eindeutig und die Funktion dort nicht differenzierbar.

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Oha, stimmt... Danke für den Hinweis.

Ich habe das \(\le\) zu einem \(<\) korrigiert.

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Lustigerweise gibt es keine Funktion in dieser Schar, die differenzierbar ist und eine nicht stetige Ableitung hat.

Stetig differnzierbar heißt, ...

Deshalb würde ich stattdessen so weiter argumentieren:

\(\lim\limits_{x\searrow0}f'(x)=\lim\limits_{x\searrow0}\left(be^{bx}\right)=be^0=b\)$$\lim\limits_{x\nearrow0}f'(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}\cosh(x)=\cosh(0)=1$$Da die Funktion in x=0 differenzierbar sein soll, müssen rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert gleich f '(0) sein   \(\Rightarrow\;\;b=1\).

Wegen   \(\lim\limits_{x\searrow0}f'(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}f'(x)=f'(0)\)

ist f ' dann auch stetig und deshalb stetig differenzierbar.

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Lustigerweise gibt es keine Funktion in dieser Schar, die differenzierbar ist und eine nicht stetige Ableitung hat.

@Wolfgang: Das stimmt so wohl nicht. Betrachte den Differenzenquotienten (von links) und setze wirklich f(0) ein (nicht den Grenzwert von links). Der Grenzwert des Differenzenquotienten (h gegen 0) ist unendlich, wenn f nicht stetig ist.

Definition inkl. h z.B. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Stetige_Differenzierbarkeit_und_h%C3%B6here_Ableitungen

Answer 2

Ich weiß, dass eine Funktion 
f(x) stetig differenzierbar heißt in x = a, wenn f′(x) in x = a stetig ist. 

Die Ableitung kannst du dann ja schon mal ausrechnen.

Muss f(x) in x=a nicht zusätzlich auch noch stetig sein?

Comments

Bis jetzt habe ich:

g‘(x)= a * be^bx 

h‘(x)= cosh(x)

Ich weiß nicht wie ich weiter kommen soll.

Ja ich denke f(x) in x=a muss auch stetig sein.

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Ja ich denke f(x) in x=a muss auch stetig sein.

          a · e^{bx    } , x > 0
f(x) =    sinh(x) + 1, x ≤ 0

Da die Exponentialfunktion überall stetig und differenzierbar ist, berechne ich a · e^{b * 0    } = a * 1 = a

und sinh(0) + 1 = 1.

Somit gilt schon mal a = 1.

Dann

g‘(x)= 1 * be^bx

h‘(x)= cosh(x)

g‘(0)= 1 * be^0 = b

= h‘(0)= cosh(0) = ? 

Hier hast du dann beim Fragezeichen das b auch noch ausgerechnet.

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Vielen Dank für deine Hilfe.