Punkte auf Kante eines Pyramidenstumpf

Question

Hallo !

Aufgabe :

Ich versuche mich aktuell an der selben Aufgabe wie hier https://www.mathelounge.de/430043/verpackung-schokoladenbonbons-pyramidenstumpf-bestatige 

Lösungsansatz :

Ich habe bevor ich mich den Aufgaben gewidmet habe erstmal die Eckpunkte der oberen Ebene bestimmt. Hierzu muss man ja eig. nicht rechnen sondern man kann sie einfach ablesen. Ich habe den Punkte rechts von G H genannt H=(8|8|8), den Punkt hinter G J J=(2|2|8) und den Punkt hinter H I I=(2|8|8).

a) Eh kann ja entweder auf D oder auf J oder auf jeden Punkt zwischen den beiden Randpunkten liegen, daraus ergibt sich schnell 0 <= h <= 2 als Definitionsbereich.

b) Ich hätte gedacht, dass es hier reicht h=0 und h=2 jeweils in den Punkt einzugeben. Wenn die beiden resultierenden Punkte zwischen B und H, also auf k2, liegen, dann würden alle Punkte mit 0<h<2 ja zwischen diesen beiden äußersten Punkten und damit auch zwischen B und H liegen. Macht man das jedoch so wiederlegt man dass diese Formeln für den Punkt stimmen, da sowohl für h=0 als auch für h=2 jeweils ein Punkt raus kommt der nicht zwischen B und H liegt.

Ich gehe stark davon aus, dass man das so also nicht machen kann, schon allein, weil man Fh für c) braucht. Wo ist aber mein Denkfehler bzw. wie würde man es sonst beweisen ? Allgemein eine Gerade von B nach H erzeugen und Prüfen ob Fh auf der Geraden liegt ? Dann könnte es ja aber sein dass Fh auf der Geraden liegt aber nicht zwischen B und H, also irgendwie außerhalb der Form ?

c) Falls die Formel für Fh richtig ist erhält man die Punkte Eh=(1|1|4) Fh=(9|9|4) S1=(9|1|4) S2=(1|9|4). Für h=1 erhält man also offensichtlich, da x3 jeweils gleich, ein Quadrat, also eine weitere Ebene, die Parallel zu ABCD und GHIJ ist und auf der Höhe 4 liegt.

d) Hier spielt wahrscheinlich mein nicht ganz richtiges Vorgehen von b) eine Rolle, dass damit Fh auf k2 liegt h weiter eingeschränkt werden muss als 0 <= h <= 2 aber wie genau man hier vorgehen soll weiß ich leider auch nicht.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand bei b) und d) helfen könnte. Ich weiß nicht, ob ich einfach auf dem Schlauch stehe oder was los ist.

Danke schon einmal !

MfG Adrien

Answer 1

Lege eine Ebene durch Eh,S_1,S_2

\(\small ES1S2 \, :=  \, \left(\left(S_1 - Eh\left(t \right) \right) \otimes (S_2 - Eh\left(t \right) \right) \; \left(\left(x, y, z \right) - S_1 \right) \)

\( \small ES1S2\;: =  \left(2 \; t - 2 \right) \; x + \left(2 \; t - 2 \right) \; y + \left(5 - t \right) \; z - 16 \; t\)

und eine Gerade k2(B,H)

\(\small k2(r) \, : \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right) =  \,  \left(\begin{array}{r}10 - 2 \; r\\ 10 - 2 \; r\\8 \; r\\\end{array}\right) \)

k2 ∈ ES1S2

\(\small -16 \; r \; t + 48 \; r + 24 \; t - 40 =0 \)

===> \(\small  r = \frac{3 \; t - 5}{2 \; t - 6} \)

===>r ∈ k2: \(\small Fh(t) \, :=  \, \left(\frac{7 \; t - 25}{t - 3}, \frac{7 \; t - 25}{t - 3}, \frac{12 \; t - 20}{t - 3} \right)\)

Interpretiere d) zu Bestimmung der Grenzen von ES1S2 sind bei z(Fh)=0 oder z(Eh)=0

Setzte z(Fh(t))=0 ===> t=5/3 ===> Fh(5/3)=B ∧ Ehk(5 / 3)=(5 / 3, 5 / 3, 20 / 3)

Eh(0) =D ===>  Fh(0)=(25 / 3, 25 / 3, 20 / 3)

ist bereits bei a) h=0..2 festgelegt

 

Comments

Ich verstege, was du versuchst und komme auf sie selbe Gleichung für k2 wie du aber für sie Ebene EhS1S2 erhalte ich :

(h|h|4h) + a*(9-h|1-h|4-4h) + b*(1-h|9-h|4-4h)

Wenn ich das mit k2 gleichsetze um den Schnittpunkt Fh zu erhalten müsste ich ja das LGS lösen:

10-2r=h+9a-ha+b-hb

10-2r=h+a-ha+9b-hb

8r=4h+4a-4ha+4b-4hb

Aus Zeile 1 und 2 entnimmt man dass h+9a-ha+b-hb=h+a-ha+9b-hb sein muss, was man zu a=b unschreiben kann weshalb man jedes b in dem Gleichungssystem durch ein a (oder umgekehrt) ersetzen kann. Jetzt muss man das Gleichungssystem lösen :

10-2r=h+10a-2ha
10-2r=h+10a-2ha
8r=4h+8a-8ha

Nur wie geht man da vor, kann man das einfach lösen, weil h und a durch ha ja verknupft sind?

LG

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In der Koordinatenform kann ich (x,y,z) einfach durch die Gerade ersetzen! Damit findet sich alles in 1 Gleichung wieder.

Dein Weg hat den Nachteil die Parameterform zu verwenden. Ich hab Deine Gleichungen nicht nachgerechnet. Du musst aus 2 Gleichungen a,b bestimmen, das in die 3. Gleichung einsetzen um r, genauer r(h), für die Gerade zu erhalten.

Edit, hab’s nachgerechnet und das gleiche r erhalten - also sollten Deine Gleichungen auch richtig sein!

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Leider hatten wir bisher nur die Parameterform, heißt ich sollte es wahrscheinlich auch so lösen.

Wenn meine Umformung weiter oben richtig war und a=b gilt woraus dann 10-2r=h+10a-2ha folgt muss ich also nach a umstellen, was uns :

a = (10-2r-h)/(10-2h) liefert, was man wiederum in die letzte Zeile des LGS für a einfügen muss, also :

8r = 4h + 8*(10-2r-h)/(10-2h) - 8h*(10-2r-h)/(10-2h)

Was man wiederum nach r auflösen muss, woraufhin man r in die Geradengleichung von k2 einfügt um alle Punkte Fh zu bekommen, soweit richtig ?

Nun 8r = 4h + 8*(10-2r-h)/(10-2h) - 8h*(10-2r-h)/(10-2h) hab ich durch umformen und umschreiben auf :

8r = (-48h+80-16r+16hr)/(10-2h)

runter brechen können, wie könnte man dort jedoch jetzt weiter vorgehen ? Ich muss ja von der rechten Seite die r wegkriegen, die im Zähler stehen und eins von den ist ja auch noch mit dem h verkettet, weshalb es nochmal schwieriger ist wegzukriegen

LG

EDIT :

Ich hab es tatsächlich zu Ende gebracht und

r = (-3h+5)/(-2h+6) raus bekommen, was ja fast richtig ist nur sind die Vorzeichen  irgendwie verkehrt herum ?

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Um mal mein Vorgehen zu zeigen. Es scheint ja nicht ganz falsch zu sein, bei der Ähnlichkeit meines Werts für r zu deinem r nur wo liegt mein Fehler, dass ich diesen Vorzeichendreher am Ende habe ?

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Erstmal Gratulation zu der sauberen Arbeit - sehe ich nicht alle Tage hier!

Das war die schlechte Nachricht, die gute ist

\(  \frac{3 \; h - 5}{2 \; h - 6} =  \frac{5 - 3 \; h}{6 - 2 \; h}  \)

im Zähler/Nenner -1 ausklammern. Wir haben das gleiche raus!

Ist wirklich eine fürchterliche Fummelei mit der Parameterform zu arbeiten....

https://www.geogebra.org/m/ykwjzkva

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Super, freut mich, dass es soweit richtig ist und danke für das Kompliment !

c) war ja soweit klar gewesen, dann muss ich bei d) ja prinzipiell nur sagen, dass wenn Fh in B liegt die z Koordinate 0 sein muss, und wenn Fh in H liegt die z Koordinate 8 sein muss.

Stelle also jeweils die Gleichung der z Koordinate =0 bzw. =8 und löse nach h auf und bekomme so die Werte h=5/3 und h=-1. Aus a) haben wir ja den Gültigkeitsbereich 0..2 und jetzt -1...5/3 also macht das zusammen den Gültigkeitsbereich 0...5/3 damit sowohl Eh als auch Fh auf ihren jeweiligen Kanten liegen, korrekt ?

LG

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Yep, das war wohl so gemeint und in den Ergebnissen sind wir uns einig...

- die Formulierung d) ist auch etwas gewöhnungsbedürftig, oder?

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Auf jeden Fall, das ist bei mir auch eher Vermutung als Überzeugung, dass das auch wirklich so gemeint ist, wie von uns jetzt beantwortet :D

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Hast Du in den Link reigeschaut?

Dann kannst Du die Scene noch mal drehen und wenden, vielleicht fällt Dir ja noch was dazu ein ;-)