Aloha :)
Zuerst führen wir die offensichtlichen Vereinfachungen durch:$$\text{rot}\,\vec F(\vec r)=\vec\nabla\times\left(\frac{k(r-l)}{r}\cdot\vec r\right)=k\cdot\vec\nabla\times\left[\left(1-\frac{l}{r}\right)\cdot\vec r\right]$$Nun wenden wir die allgemeine Produktregel an. Den Faktor, auf den der Nabla-Operator wirkt, kennzeichnen wir mit einem Pfeil:$$=k\cdot\vec\nabla\times\left[\overbrace{\left(1-\frac{l}{r}\right)}^{\downarrow}\cdot\vec r\right]+k\cdot\vec\nabla\times\left[\left(1-\frac{l}{r}\right)\cdot\overbrace{\vec r}^{\downarrow}\right]$$Jetzt müssen wir nach den Regeln der Vektorrechnung die beiden Summanden so umformen, dass der Nabla-Operator direkt links vor dem "Objekt" steht, auf das er wirkt:
$$=k\cdot\left[\vec\nabla\left(1-\frac{l}{r}\right)\right]\times\vec r+k\left(1-\frac{l}{r}\right)\cdot\left[\vec\nabla\times\vec r\right]$$$$=k\cdot\left[\text{grad}\left(1-\frac{l}{r}\right)\right]\times\vec r+k\left(1-\frac{l}{r}\right)\cdot\left[\text{rot}\,\vec r\right]$$Falls eine Funktion nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt, gilt:$$\text{grad}\,f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0$$und die Rotation von \(\vec r\) ist gleich \(\vec 0\):$$\text{rot}\,\vec r=\left(\begin{array}{c}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\partial_2z-\partial_3y\\\partial_3x-\partial_1z\\\partial_1y-\partial_2x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$Damit rechnen wir weiter:$$\text{rot}\vec F(\vec r)=k\cdot\left(1-\frac{l}{r}\right)'\cdot\vec r^0\times\vec r=\frac{kl}{r^2}\cdot\vec r^0\times\vec r=\frac{kl}{r^3}\cdot\underbrace{\vec r\times\vec r}_{=\vec 0}=\vec 0$$
