Es seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie, dass (A \ B ) \ C = (A \ C ) \ ( B \ C ) gilt.

Question

Es seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie, dass (A \ B ) \ C = (A \ C ) r ( B \ C ) gilt.

Muss ich da DeMorgan anwenden??

Comments

Ich meinte

Es seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie, dass (A \ B ) \ C = (A \ C ) \ ( B \ C ) gilt.

Answer 1

Fang mal rechts an:

       x∈  (A \ C ) \ ( B \ C )

<=>  x∈ A \C  und  x ∉ B\C

<=>  (x∈ A  und  x∉C ) und    ¬ (x ∈ B\C  )

<=>  (x∈ A  und  x∉C ) und    ¬ (x ∈ B  und x ∉ C  )

Hier De Morgan !

<=>  (x∈ A  und  x∉C ) und     (x ∉ B  oder  x ∈ C  )

Weil in der ersten Klammer   x∉C  steht, ist  x ∈ C  
in der 2. Klammer immer falsch, kann also in der
oder-Verbindung weggelassen werden:

<=>  (x∈ A   und  x ∉ C )    und   x ∉ B

"und" ist assoziativ und kommutativ

<=>  (x∈ A   und  x ∉ B )    und   x ∉ C    

 <=>  x∈ A\B    und   x ∉ C

x∈  (A \ B ) \ C