Es seien X eine Menge und A, B ⊂ X zwei Teilmengen von X . Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind

Question

Aufgabe:

Es seien X eine Menge und A, B ⊂ X zwei Teilmengen von X . Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) A⊂B,
(ii) Ac ∪ B = X

(iii) A∪(B\A)=B.
Hierbei bezeichnet Ac = X \ A das Komplement der Menge A in X.

Answer 1

(i)  A⊂B     (ii) Ac ∪ B = X   (iii) A∪(B\A)=B.

Gelte (i) und sei x∈X.

1. Fall  x∈B.  Dann ist jedenfalls

          auch x ∈ Ac ∪ B

2. Fall x∉B. Wegen (i) ist dann auch x∉A

also x ∈ Ac, somit auch x ∈ Ac ∪ B

Damit ist Ac ∪ B ⊇ X gezeigt.

Sei umgekehrt x ∈ Ac ∪ B

==>   x ∈ X\A  ∨   x ∈ B

in beiden Fällen also x∈X.

Somit ist gezeigt (i) ==> (ii).

Entsprechend die anderen Folgerungen zeigen.