Beweis Konvergenz (Folge, Reihe)

Question

Aufgabe:

Es seien \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) eine monoton fallende Folge und \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) konvergent.

Zeigen Sie:

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot a_{n}=0 $$

Comments

Diese Frage wurde bereits mehrfach gestellt, z.B. hier: https://www.mathelounge.de/397770/monoton-fallende-folge-deren-konvergiert-zeigen-nullfolge.

Answer 1

Wegen der fallenden Monotonie von \( a_n \) gilt $$  \sum_{k=n+1}^{2n} a_k \ge \frac{1}{2} 2 n a_{2n}  $$ Weil die Reihe konvergent ist, folgt aus dem Chauchy Kriterium, dass die Restsumme ab einem Index \( n_0 \) eine Nullfolge ist. Also gilt $$ 0 \le 2n a_{2n} < \epsilon  $$ Und damit ist auch die Folge \( b_n = n a_n \) für gerade Indizes eine Nullfolge. Für ungeade Indizes geht es genauso.