Ein Beweis zu Konvergenz der Reihe über Folgenprodukte

Question

Behauptung:

Wenn die unendliche Reihe  ∑a_n absolut konvergent ist und die Folge (b_n)_n konvergent dann folgt daraus die absolute Knvergenz der unendlichen Reihe ∑a_nb_n

Ich habe bisher folgende Gedanken aufgeschrieben:

Da ∑a_n absolut konvergent ist gilt : limes |a_n| = 0 und (mit n -> ∞), dh ab einem bestimmten Index sind alle anderen Folgenglieder < 1

Da b_n konvergent ist gilt: ∀ ε > 0 ∃ n₀ aus N sodass |b_n - b| < ε gilt und das ∀ n ≥ n₀

und daraus folgt wiederum, dass b_n monoton und beschränkt ist.

Wie komme ich nun von dieses Informationen auf die Erkenntnis, dass die unendlichen Reihe ∑a_nb_n absolut konvergiert. Ich kann nicht mal, die Summe auseinander nehmen.

Ich würde den Beweis gerne selbst vormulieren, mir scheint es nur so, als ob ich hänge und weiß nicht genau wie ich weiter machen soll.

Answer 1

Hi,

Hinweis: nimm dir eine Schranke für die Folge \( (b_n)_n \) und mach für die Reihe eine Abschätzung :)

Gruß

Comments

Hast du eventuell einen Tipp für Schranken?

Was aufjedenfall nicht falsch wäre ist b_n ∈ ( -∞, +∞ ) offenes Intervall.

Aber es fällt mir echt schwer eine Schranke zu finden zu einer Folge, die ich nicht kenne, und den Grenzwert, kenne ich auch nicht..

Dazu eine Idee?

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Klar :)

\( (b_n)_n\) beschränkt \(\Rightarrow \exists S \in \mathbb{R}: |b_n| \leq S \quad \forall n \in \mathbb{N} \)

Kommst du damit weiter? Den Betrag der Schranke brauchst du ja nicht zu wissen, nur dass sie existiert.

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Hmmm bin mir nicht sicher, schau mal:

Für ∑a_nb_n  soll gelten:

limes |a_nb_n| = 0

|a_n| < |a_nb_n| = |a_n| * |b_n| ≤ |a_n| * s  ≤ s

wobei s eine obere Schranke von b_n ist...

Könnte man sagen, dass durch das Quetschlemma (Sandewichkriterum).. ∑|a_nb_n|zwischen den zwei absolut konvergenten unendlichen Reihen ∑|a_n| und ∑|a_n|*s liegt und das der Grund ist für die absolute Konvergenz?

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Nicht ganz, da S ja auch kleiner als 1 sein kann. Dann passt deine Ungleichungskette nicht mehr. Du machst es dir hier ein bisschen unnötig schwer: Du sollst ja zeigen

$$ \sum |a_nb_n| < \infty $$

Mit der gewählten Schränke kommst du auf die Abschätzung:

$$ \sum |a_nb_n| = \sum |a_n| \cdot |b_n| \leq \sum |a_n| \cdot S $$

Jetzt ist es nicht mehr weit :)

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$$\sum { \left| { a }_{ n } \right|  } *\quad S\quad =\quad S\quad *\quad \sum { \left| { a }_{ n } \right|  } $$

also ist $$\sum { |{ a }_{ n }{ b }_{ n }| } \quad \le \quad S\quad *\quad \sum { \left| { a }_{ n } \right|  } <\quad \infty $$

Nun ist das zweite Majorant und nach dem Majorantenkriterium absolut konvergent?

Was ich noch nicht ganz verstehe ist, wieso ich für |b_n| die obere Schranke einsetzen darf.. Die Schranke ist eine Konstante, schön und gut, dass die Folge eine hat, aber das sagt mir ja nicht, ob sie im zusammenhang mit der Reihe, bei der ja alle Glieder addiert werden, ob die noch innerhalb der Schranke liegt?

Vielleicht habe ich auch gerade einen kleinen Denkfehler.

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Ja genau so und fertig bist du :). Wobei du ja nur das S aus der Summe ziehen darfst weil die Reihe \(\sum a_n\) absolut konvergent ist. Du hast ja S im grunde einfach nur ausgeklammert.

Du setzt für \(|b_n|\) nicht die Schranke ein sondern schätzt sie mit ihr nach oben ab.

Die Abschätzung mit Hilfe der Schränkte funktioniert hier ja weil wir nur mit positiven Summanden arbeiten. Außerdem wird in der Reihe ja nur das Produkt der Beträge der Folgen \(a_n\) und \(b_n\) addiert. Die Folgenglieder von \(b_n\) werden nicht einzeln aufsummiert, weswegen es auch keinen Grund gibt da einen Zusammenhang mit der Schranke zu hinterfragen.

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Du hast recht. Vielen lieben Dank :)