Aussagen über die Konvergenz von Reihen

Question

wie zeige ich, dass aus der Konvergenz von $$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \left| { { a }_{ k } }^{ 2 } \right|  } $$ die Konvergenz von $$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { a }_{ k } }{ k }  } $$ folgt?

Comments

Bemerkung: Der Exponent in der ersten Reihe gehört außerhalb der Betragsstriche hin, sorry.

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Nicht schlimm das spielt keine Rolle.

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Dachte ich mir eigentlich, aber wollte sicher gehen ^^

Kannst du mir vielleicht einen Ansatz verraten? Meine Idee ist, dass ich folgern kann, dass a_k eine Nullfolge ist.  Somit ist die Folge bei der zweiten Reihe ein Produkt zweier Nullfolgen 1/k und a_k. Das bringt mich nur leider nicht wirklich weiter.

Answer 1

also erstmal nur der Ansatz: Majorantenkriterium. Also nach oben abschätzen.

Dafür bspw. folgendes überlegen:

Für alle \(k \geq 1 \) gilt: \(|a_k| \leq \frac{1}{k} \) oder \(\frac{1}{k} \leq |a_k| \).

Versuche aus beide Fällen eine Abschätzung für \(\frac{|a_k|}{k} \) zu finden.

Gruß

Comments

Jetzt, hab ich's denk ich. Also für den 1. Fall schätze ich sie mit der Majorante 1/(k^2) ab (es ist bekannt, dass die zugehörige Reihe gegen 0 geht) und für den 2. Fall mit der gegebenen Folge la_kl^2 (dass die zugehörige Reihe konvergiert, ist vorgegeben). Richtig?

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Die Reihe zu 1/k^2 geht nicht gegen Null, die konvergiert. Beide Abschätzungen schon mal super. Jetzt kombiniere diese so dass du eine Abschätzung für alle k hast unabhängig von den Fallunterscheidungen. Dann hast du deine Majorante und dir fehlt nur noch eventuelll ein klitzkleines Schlußargument.

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Also hätte ich dann als Majorante: 1/k^2+(a_k)^2? Die müsste ja immer größer sein als (a_k)/k und da ich die zugehörige Reihe in zwei bekannte, konvergente Reihen auseinanderziehen kann und die rechenregeln für grenzwerte benutzen kann, ist es damit bewiesen?

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Immer größer als \( | \frac{a_k}{k} |\) ist hier der wichtige Punkt.

Damit hättest du gezeigt, dass \(\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k}\) absolut konvergiert, also ja :) schön gemacht.

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:D Schönen Abend noch