Äquivalenzelation und Äquivalenzklasse

Question

Aufgabe 3:

Es sei \( M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1} \neq 0\right\}, \) und \( R \subset M \times M \) definiert durch \( R:= \left\{\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right) \in M \times M: x_{2} / x_{1}=y_{2} / y_{1}\right\} . \)

Prüfen Sie ob \( R \) ein Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe 4:

Es sei \( M \) eine Menge, \( R \subset M \times M \) eine Äquivalenzrelation und \( x, y \in M \) Zeigen Sie, dass dann entweder \( [x]_{R}=[y]_{R} \) oder \( [x]_{R} \cap[y]_{R}=\emptyset \) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nur, dass Aufgabe 3 eine Äquivalenzrelation ist, aber wie genau man das bei der Nummer 3 und 4 nachweisen kann, habe ich keine Ahnung. Ich freue mich auf eine freundliche Antwort :)

Answer 1

Bei 3 einfach nur die 3 Eigenschaften nachweisen.  z.B.

reflexiv:  Für alle (x,y) ∈ M gilt   (x,y) R (x,y) , weil y/x = y/x ,

da ja x≠0 ist.

symmetrisch: Bedenke b/a = d/c dann auch   d/c = b/a

und transitiv:

b/a = d/c und  d/c = f/e  dann auch  b/a = f/e .

zu 4: Bedenke, dass die Äquivalenzklasse von x ,   also [x]_R alle

Elemente von M enthält, die mit x in dieser Relation stehen.

Wenn du zwei Elemente hast, stehen sie entweder miteinander

in dieser Relation und wegen der Symmetrie und Transitivität

sind die Klassen gleich. Und wenn sie nicht in der Relation stehen,

gibt es wegen der Symmetrie und Transitivität auch kein anderes

Element, mit dem beide in der Relation stehen,

also haben die Klassen kein gemeinsames El.