Aloha :)
$$\left.4^x+6^x=9^x\quad\right|\;-6^x-4^x$$$$\left.9^x-6^x-4^x=0\quad\right|\;:4^x$$$$\left.\left(\frac{9}{4}\right)^x-\left(\frac{6}{4}\right)^x-1=0\quad\right.$$$$\left.\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^x-\left(\frac{3}{2}\right)^x-1=0\quad\right.$$$$\left.\left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^x-1=0\quad\right.$$Setze nun \(y:=\left(\frac{3}{2}\right)^x\), dann erhältst du eine quadratische Gleichung:$$y^2-y-1=0\quad\Rightarrow\quad y_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt5}{2}$$Weil per Definition \(y>0\) sein muss, fällt die negative Lösung weg. Wir haben:
$$\left.\left(\frac{3}{2}\right)^x=y=\frac{1+\sqrt5}{2}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.x\ln\left(\frac{3}{2}\right)=\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\quad\right|\;:\ln(3/2)$$$$\left.x=\frac{\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)}{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}\approx1,186814\quad\right.$$
