Gebrochen- rationale Funktion:

Question

Aufgabe:

Die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten wird durch die Funktion K mit K(t)=
0,16t/ (t+2)²  (ist als Bruch zu verstehen) beschrieben.

(t in Stunden seit der Medikamenteneinnahme, K(t) in mg/cm³).
Berechnen Sie die anfängliche momentane Änderungsrate der Konzentration und vergleiche diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten 6 Minuten. Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration am höchsten ist. Geben Sie die maximale Konzentration an  und berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken ist. Begründen Sie , warum in diesem Beispiel zu jedem Zeitpunkt t eine Konzentration angegeben werden kann.

Problem/Ansatz:

erlaubt ist nur Produkt und Quotientenregel. Kann die Aufgabe leider mit schwierigkeiten rechnen und brauch Schrittweise erklärung wieso weshalb warum ;(

Answer 1

Berechnen Sie die anfängliche momentane Änderungsrate der Konzentration

K(t)= 0,16t/ (t+2)²

 K ' (t) = (-0,16t+0,32)/(t+2)^3

(Du kannst nämlich beim Ergebnis der Quotientenregel im Zähler (t+2)

ausklammern und damit 1x kürzen .)

Also K '(0) = 0,04   (anfängliche momentane Änd. rate.)

und vergleiche diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten 6 Minuten.

Diese ist    (K(6) - K(0)) / ( 6 - 0 )

                 = (0,015 - 0) / 6

                 = 0,0025

Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration am höchsten ist.

K ' (t) = 0 <=>   -0,16t+0,32  = 0 <=>  t=2  und K ' ' (2) =  - 0,0025 < 0 .

==>  Max bei t=2 und K(2) = 0,02  (höchste Konz.)

Geben Sie die maximale Konzentration an  (s.o)

  und berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken ist.

K(t) = 0,1  <=>   0,16t/ (t+2)²  = 0,1

                            0,16t  =  0,1*(t+2) ^2

                   t ≈ 0,343  oder  t ≈ 11,66

Da es nach t=2 ( Dort ist das Max. ) gesunken sein soll ist die 2. Lösung die richtige.

Begründen Sie , warum in diesem Beispiel zu jedem Zeitpunkt t eine Konzentration angegeben werden kann.

Für alle t≥0 liefert   0,16t/ (t+2)²  einen Wert, weil der Nenner dafür nie Null wird

Comments

Hallo mathef,
K ' (t) = (-0,16t+0,32)/(t+2) ^2
mein Matheprogramm meint
K ' (t) = (-0,16t+0,32)/(t+2) ^3
mfg Georg

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Danke, hast recht, hab falsch abgetippt !

Answer 2

u=0,16t  u'=0,16

v=(t+2)²  v'=2(t+2)

(u'v-uv')/v²

[0,16(t+2)²-0,16t·2(t+2)]/(t+2)⁴ Im Zahler t+2 ausklammern und kürzen:

[0,16(t+2)-0,32t](t+2)³=0,16(2-t)/(t+2)³.