Question

Im ℝ³ seien folgende Vektoren gegeben:

b₁= (1,3,−2),

b₂= (0,5,1),

b₃= (2,−3,−7).

(a) Zeigen Sie, dass b₁, b₂, b₃ eine Basis B von ℝ³ bilden.

(b) Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung D_B(v) des Vektors v = (2,1,1) ∈ ℝ³ bezüglich der Basis B.

Answer 1

a) Zeige die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren.

b) Bilde die Linearkombination der Basis, setze sie gleich v und ermittle so die Parameter (a,b,c) der KD.

a * b₁ + b * b₂ + c * b₃ = v 
⇒ Die Koordinaten bzgl. B lauten (-10,-5,12).

Comments

Reicht es wenn ich zu a) schreibe

Die Matrix B = (b₁, b₂, b₃) ∈ ℝ^3×3  ist wegen

det (B) = \( \begin{pmatrix} 1  2  3\\0  1  2\\0  0  1 \end{pmatrix} \)  = 1 · 1· 1 = 1 ≠ 0

invertierbar, weswegen b1, b2, b3, eine Basis von ℝ³ bilden. 

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@hp: Du musst vermutlich relativ genau vorrechnen, wie du von den Vektoren b1, b2 und b3 auf die Zeilenstufenform der Matrix kommst.

Zudem muss vor die grosse Klammer ein Det und in der grossen Klammer sollten Abstände zwischen den Spalten eigefügt werden.