Aloha :)
Das Integral vereinfacht sich stark, weil nur die y-Komponenten von 0 verschieden ist:
$$\int\limits_{-3\pi/4}^{-\pi/2}\vec F_G\cdot\frac{\partial \vec s}{\partial\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{-3\pi/4}^{-\pi/2}-mg\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(1\cdot\sin\varphi\right)\,d\varphi$$Ableitung und nachfolgende Integration von \(\sin\varphi\) "kompensieren sich", sodass weiter:
$$=-mg\,\left[\sin\varphi\right]_{-3\pi/4}^{-\pi/2}=-mg\left(-1+\frac{1}{\sqrt2}\right)=mg\left(1-\frac{1}{2}\sqrt2\right)$$