explizite Bijektion für f: A->B

Question

Aufgabe:

Ich soll eine explizite Bijektion für

A = {3*a: a ∈ ℤ} und B = {3*b+1: b∈ ℤ} ∪ {3*c+2: c ∈ ℤ} angeben.

Problem/Ansatz:

Es scheitert bei mir irgendwie schon am Ansatz.

Die Beispiele die wir davor gerechnet haben waren eher mehr

A = gerade Zahlen ∈ ℤ

B = ungerade Zahlen ∈ ℤ

und als funktion hab ich dann sowas wie f(x) = x-1 angegeben

Aber in dem Fall tu ich mir bissl schwer weil ich für B zwei Bedingungen hab.

mfg, &

Answer 1

Zahlen aus A sind durch 3 teilbar.

Zahlen aus A haben bei Division durch 6 entweder den Rest 0 oder den Rest 3.

Die Mengen {3*b+1: b∈ ℤ} und {3*c+2: c ∈ ℤ} sind disjunkt.

\( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{3}+1& \text{falls } x\equiv 0 \mod 6 \\ \frac{x}{3}+2 &\text{falls } x \equiv 3 \mod 6 \end{cases} \)

Comments

Was genau sagt diese Funktion jetzt aus?

Für ein x∈A gibt es die funktion (x/3)+1 falls x durch 6 geteilt wird und 0 Rest hat? und vice versa für x durch 6 mit 3 Rest?

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Die Funktion sagt zum Beispiel folgendes.

Der Funktionwert von 9 ist 9/3 + 2 = 5, weil 9 ≡ 3  mod 6 ist.

Der Funktionwert von 12 ist 12/3 + 1 = 5, weil 12 ≡ 0  mod 6 ist.

Ich sehe gerade, dass die Funktion überhaupt nicht bijektiv ist.

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Ich sehe gerade, dass die Funktion überhaupt nicht bijektiv ist.

Das kann man aber reparieren.

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Danke erstmal!! wie würde man diese abbildung denn jz bijektiv machen?

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hab schon man differenziert zwischen x gerade und x ungerade

für f(x) = x/2 - 1 für gerade x

und (x-1)/2 für ungerade x

wär das richtigv

Answer 2

A = {3*a: a ∈ ℤ} und B = {3*b+1: b∈ ℤ} ∪ {3*c+2: c ∈ ℤ}

Prüfe mal folgenden Vorschlag für f: 

Falls a = 2n, dann f(a):= 3*(a/2) + 1

Falls a = 2n+1, dann f(a):= 3*((a-1)/2) + 2

Dabei ist n eine beliebige ganze Zahl.

Gut möglich, dass du noch etwas anpassen musst in der Nähe von 0 oder so, falls mein Vorschlag passt.