Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe: Betrachten Sie Folge von Vektoren
(1) Explizite Linearkombinationen von \( (1,2) \) und \( (1,0) \):
Betrachten wir die Vektoren \( v_{m} = (2m - 1, 2m) \) und \( v_{n} = (2n - 1, 2n) \) für \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m \neq n \).
Wir wollen \( (1,2) \) und \( (1,0) \) als Linearkombinationen von \( v_{m} \) und \( v_{n} \) schreiben. Das bedeutet, wir suchen Skalare \( a \) und \( b \) so, dass:
\(
a v_{m} + b v_{n} = (1,2)
\)
\(
a (2m - 1, 2m) + b (2n - 1, 2n) = (1,2)
\)
Das ergibt die Gleichungssysteme:
\(
a (2m - 1) + b (2n - 1) = 1
\)
\(
2a m + 2b n = 2
\)
Lösen wir die zweite Gleichung nach \( a \) und \( b \):
\(
a m + b n = 1
\)
Für \( (1,0) \):
\(
a (2m - 1, 2m) + b (2n - 1, 2n) = (1,0)
\)
\(
a (2m - 1) + b (2n - 1) = 1
\)
\(
2a m + 2b n = 0
\)
Die zweite Gleichung liefert:
\(
a m + b n = 0
\)
Nun haben wir zwei Linearkombinationen:
Für \( (1,2) \):
\(
\left[
\begin{array}{ll}
2m - 1 & 2n - 1 \\
2m & 2n
\end{array}\right]
\left(\begin{array}{ll}
a \\
b
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ll}
1 \\
2
\end{array}\right)
\)
Für \( (1,0) \):
\(
\left[
\begin{array}{ll}
2m - 1 & 2n - 1 \\
2m & 2n
\end{array}\right]
\left(\begin{array}{ll}
a \\
b
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ll}
1 \\
0
\end{array}\right)
\)
(2) Erzeugendensysteme von \( V \):
Wir zeigen zunächst, dass zwei beliebige Vektoren \( \{v_m, v_n\} \) ein Erzeugendensystem in \( \mathbb{R}^2 \) bilden. Dies zeigt man durch Berechnung der Determinante:
\(
\det \left(
\begin{array}{cc}
2m - 1 & 2n - 1 \\
2m & 2n
\end{array}\right)
\)
Die Determinante ist:
\(
\det \left(
\begin{array}{cc}
2m - 1 & 2n - 1 \\
2m & 2n
\end{array} \right) = (2m-1) \cdot 2n - (2n-1) \cdot 2m
\)
\(
= 2mn - 2n - 2mn + 2m = 2m - 2n \neq 0, \text{ da } m \neq n
\)
Weil die Determinante ungleich null ist, sind \( v_m \) und \( v_n \) linear unabhängig und bilden ein Erzeugendensystem von \( \mathbb{R}^2 \).
(3) Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit:
Die Vektoren \( v_m \) und \( v_n \) sind linear unabhängig, wie wir im vorherigen Teil durch die Determinantenrechnung gezeigt haben.
Für drei Vektoren \( \{v_l, v_m, v_n\} \) zeigen wir, dass sie linear abhängig sind. Da \( V = \mathbb{R}^2 \) ein zweidimensionaler Raum ist, können höchstens zwei Vektoren linear unabhängig sein. Da \( v_m \) und \( v_n \) eine Basis bilden und \( v_l \) ein dritter Vektor ist, gilt:
\(
a v_l + b v_m + c v_n = (0,0) \quad \Rightarrow \quad a = b = c = 0
\)
Die dritte Gleichung ergibt daher, dass \( \left\{ v_l, v_m, v_n \right\} \) linear abhängig sind.
(4) Bestimmen aller linear unabhängigen Teilmengen:
Wir suchen die größten linear unabhängigen Teilmengen der Menge \( \left\{ v_n \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Da \( V = \mathbb{R}^2 \) ist, kann jede unabhängige Teilmenge nur zwei Elemente enthalten. Also besteht jede unabhängige Teilmenge aus Paaren \( \{v_m, v_n\} \) für \( m \neq n \):
\(
\left\{ \{v_m, v_n\} \mid m, n \in \mathbb{N}, m \neq n \right\}
\)
Dies sind die einzigen maximalen unabhängigen Teilmengen in \( \mathbb{R}^2 \).
