Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt (Abiaufgabe)

Question

Aufgabe 2.1: Museum

Das Gebäude eines Museums kann modellhaft durch den abgebildeten Körper ABCDEFG dargestellt werden. Die obere Etage des Museums entspricht dabei der Pyramide DEFG, die untere Etage dem Körper ABCDEF, der Teil der Pyramide DEFS ist. Das Dreieck ABC liegt in der x-y-Ebene. Das Dreieck DEF liegt parallel zu dieser Ebene.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für die Lage einiger der genannten Punkte: A(-5|5|0), B(-5|25|0), D(0|0|15), E(0|15|30, F(-25|5|15) und G(-10|10|35). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität.

f) An einer Metallstange, die durch die Strecke \( \overline{R G} \) dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden. Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von 5 m diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck EFG dargestellt wird. Das Dreieck \( E F G \) liegt in der Ebene mit der Gleichung: \( 2 x-2 y-z=-75 \) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.

Aufgabenquelle Bildungsserver

Problem:

Ich wollte zur Vorbereitung für meine Matheklausur eine Abiaufgabe rechnen, weil der Lehrer meinte das so eine Aufgabe rankommt. Jedoch sind all meine rechen Wege nie aufgegangen deswegen würde ich mich über einen richtigen Lösungsansatz freuen :)

Answer 1

gRG: X = [- 50/7, 50/7, 15] + r·([-10, 10, 35] - [- 50/7, 50/7, 15]) = [- 20/7·r - 50/7, 20/7·r + 50/7, 20·r + 15]

Davon suchen wir jetzt genau den Punkt der die Entfernung 5 von der Ebene hat.

d = ABS(2·x - 2·y - z + 75)/√(2^2 + 2^2 + 1^2) = 5

d = ABS(2·(- 20/7·r - 50/7) - 2·(20/7·r + 50/7) - (20·r + 15) + 75)/√(2^2 + 2^2 + 1^2) = 5 --> r = 23/44

S = [- 50/7, 50/7, 15] + 23/44·([-10, 10, 35] - [- 50/7, 50/7, 15]) = [- 95/11, 95/11, 280/11] = [-8.636, 8.636, 25.455]

Comments

Hallo,

was soll die \( \sqrt{2^2+2^2+1^2} \) bedeuten und wo kommt diese Wurzel her?

Danke für die Antwort

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Schau mal unter Betrag/Länge eines Vektors nach. Das wird eigentlich innerhalb der ersten Stunden der Vektorrechnung besprochen.

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Darauf bin ich auch gerade gekommen. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß woher die Zahlen in der Wurzel kommen und warum man dann den Betrag teilen muss. Des Weiteren weiß ich nicht woher man weiß, dass man den Betrag überhaupt nehmen muss.

Vielen Dank für die schnelle Antwort :).

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Das ist die Abstandsformel von einem Punkt zur Ebene. Sie entspricht der Ausmultiplizierten hesseschen Normalenform. Dort wird der normierte Normalenvektor benutzt. Daher muss man den Normalenvektor durch seine Länge teilen.

Also kommen die Zahlen unter der Wurzel vom Normalenvektor.

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Alles klar. Diese Formel hatten wir im Unterricht noch nicht.

Vielen Dank.