Question

Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in P(2|0) eine Wendetangente mit der Steigung -4/3

Bitte Lösen mit Rechnung,

vielen Dank!

Andi

Answer 1

Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in P(2|0) eine Wendetangente mit der Steigung -4/3

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(2) = 0
f'(2) = -4/3
f''(2) = 0

16·a + 4·b + c = 0
32·a + 4·b = - 4/3
48·a + 2·b = 0

Kontrollösung: a = 1/48 ∧ b = - 1/2 ∧ c = 5/3

f(x) = 1/48·x^4 - 1/2·x^2 + 5/3

Skizze:

Comments

kannst du bitte den schritt besser erklären hier:

16·a + 4·b + c = 0
32·a + 4·b = - 4/3
48·a + 2·b = 0

ich habe da die ungeraden hochzahlen rausgemacht weil es symmetrisch ist also

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e>>f(x)=ax^4+cx^2+e

und denn für x=2 eingesetzt

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Das ist die Übersetzung der Bedingungen:

f(2) = 0 
f'(2) = -4/3 
f''(2) = 0

Also du nimmst f(x) und setzt für x einfach 2 ein und setzt das gleich 0. usw.

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das versteh ich ja aber wie kommst du auf das hier:

16·a + 4·b + c = 0
32·a + 4·b = - 4/3
48·a + 2·b = 0

---

f'(2) = -4/3  

Wir nehmen also die 1. Ableitung von f und setzen 2 ein und dann setzten wir das gleich -4/3

f'(x) = 4·a·x^3 + 2·b·x

f'(2) = 4·a·2^3 + 2·b·2 = -4/3 Das kann man aber noch etwas vereinfachen

f'(2) = 32·a + 4·b = - 4/3

Das schreibt man dann auf.

Answer 2

Hi Andi,

 

eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat die allgemeine Form

f(x) = ax⁴ + bx² + c

f'(x) = 4ax³ + 2bx

f''(x) = 12ax² + 2b

 

Die gesuchte Parabel hat eine Wendetangente in P(2|0), also

f(2) = 0 = 16a + 4b + c

f''(2) = 0 = 48a + 2b

Dort hat sie den Anstieg -4/3, also

f'(2) = -4/3 = 32a + 4b

 

a = 0,020833333333 .... = 1.875/90.000 | Auf Kürzen habe ich jetzt keine Lust, bitte selbst machen :-)

b = -0,5

c = 1,66666666666 ....  = 15/9 = 5/3

 

Die Funktion lautet also:

f(x) = 1.875/90.000 * x⁴ - 0,5x² + 5/3

 

Besten Gruß

Comments

wie kommst du dadrauf:

Dort hat sie den Anstieg -4/3, also

f'(2) = -4/3 = 32a + 4b

?

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Die gesuchte Parabel muss im Punkt (2|0) den gleichen Anstieg haben wie die Tangente an diese Parabel, also -4/3 (denn die Tangente berührt die Parabel ja nur und schneidet sie nicht).

Der Anstieg der Parabel wird durch die 1. Ableitung der Parabel angegeben, und diese lautet:

f'(x) = 4ax³ + 2bx

x ist 2, und das eingesetzt ergibt

f'(2) = -4/3 = 4a*2³ + 2b*2 = 32a + 4b

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16·a + 4·b + c = 0
32·a + 4·b = - 4/3
>48·a + 2·b = 0    ?

bei der aufgabe wie kommt man dann auf das letzte

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Die gesuchte Parabel hat eine Wendetangente in P(2|0).

Das bedeutet, dass am Punkt P(2|0) ein Wendepunkt vorliegt.

Deshalb muss dort die 2. Ableitung der gesuchten Funktion f(x) = 0 sein.

Also

f''(x) = 12ax² + 2b

f''(2) = 0 = 12a * 2² + 2b = 48a + 2b

Answer 3

Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in P\((2|0)\) eine Wendetangente mit der Steigung \(m=-\frac{4}{3}\)

\(f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-8x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-8)\)

Wendepunkteigenschaft:

\(f''(2)=a(40-2N^2)=0\)

\(N^2=20\)

\(f'(x)=a(4x^3-48x)\)

Steigung im Wendepunkt:

\(f'(2)=a(32-96)=-64a=-\frac{4}{3}\)

\(a=\frac{1}{48}\)

\(f(x)=\frac{1}{48}(x^4-24x^2+80)\)