Wie vielle Schlüssel werden für 90 Räume benötigt?

Question

Aufgabe:

Ein Verein hat 100 Mitglieder und ein Vereinsheim mit 90 Räumen. Es ist bekannt, dass nie mehr als 90 Mitglieder gleichzeitig im Vereinsheim anwesend sind. Es sollen nun Schlüssel für die Räume so an die Mitglieder verteilt werden, dass zu jedem Zeitpunkt jedes Mitglied ein leeres Zimmer findet, zu dem es einen Schlüssel hat.

Wie viele Schlüssel werden dafür benötigt? Begründen Sie, warum es nicht weniger sein können. Geben Sie außerdem eine gültige Verteilung der Schlüssel an.

Problem/Ansatz:

Ich denke  das ist geordnete Ziehung ohne Wiederholung und werden 90!  Schlüssel dafür benötigt.

 Die  Begründung:

 Warum es nicht weniger sein können?

   wegen die Anzahl der Möglichkeiten, unterschiedliche Gegenstände in einer Reihe anzuordnen.

Für eine gültige Verteilung ich brauche Hilfe!

Vielen Dank im Voraus! :-) 

Comments

Die Antwort hängt entscheidend davon ab, ob die maximal 90 anwesenden Mitglieder gleichzeitig ankommen und sich dann absprechen können, wer in welchen Raum geht oder ob sie nacheinander eintreffen und das 90. Mitglied dann garantiert den Schlüssel für den noch einzig freien Raum haben muss.

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Ist die Frage vollständig und richtig gestellt ?

Es sollen nun Schlüssel für die Räume so an die Mitglieder verteilt werden, dass zu jedem Zeitpunkt jedes Mitglied ein leeres Zimmer findet

Wenn 100 Mitgieder ein Zimmer benötigen und nur 90
Zimmer vorhanden kann das nicht funktionieren.

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@Georg:

Es kommen maximal 90 gleichzeitig.

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Richtig.
Es ist bekannt, dass nie mehr als 90 Mitglieder gleichzeitig im Vereinsheim anwesend sind.
Hatte ich überlesen.

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Jedem Vereinsmitglied 90 Schlüssel für alle
Zimmer geben. 100 * 90 = 9000 sind notwendig.

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Vielen Dank euch !

Answer 1

Wenn jedes Mitglied zu jedem Raum einen Schlüssel bekommt werden 90·100=9000 Schlüssel gebraucht. Das wäre die Maximalzahl.

90! kann also nicht richtig sein.

Answer 2

Angenommen alle Räume des Vereinsheims sind belegt. Jetzt verlässt Mitglied A das Vereinsheim. Dann ist der Raum, den A verwendet hat, leer. Jetzt kommt Mitglied B ins Vereinsheim. Mitglied B benötigt den Schlüssel des Raumes, den A verlassen hat. Da A in jedem Raum gewesen sein kann, benötigt B alle Schlüssel. Also benötigen alle Mitglieder alle Schlüssel. Das ergibt, wie mathe_was_sonst schon gesagt hat, 90·100=9000 Schlüssel.

Comments

Weil das so ist, sollte man vielleicht davon ausgehen, dass das Vereinsheim ein "endliches Hilbert-Hotel" ist, in dem dauernd umgezogen wird, also die erste Deutungsversion aus meinem obigen Kommentar zutrifft.

(Und wenn nicht, so sehe man dies als eine neue, von mir gestellte Aufgabe an.)

Übrigens :
wie mathe_was_sonst schon gesagt
mws hat es nicht gesagt, sondern als Obergrenze festgestellt - gb hat es gesagt.

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Ich hab' echt kein Bock darauf, dauernd umzuziehen. Wofür bezahle ich denn bitteschön Mitgliedsbeiträge? Ich werde das mal auf der nächsten Mitgliederversammlung ansprechen. Mit den 8900 eingesparten Schlüsseln kann man vielleicht die restlichen 10 Zimmer finanzieren.

BTW und ich habe argumentiert, dass diese Obergrenze auch die Untergrenze ist.

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Nur mal so interessehalber :
Warum wurden hier die Kategorien "Antwort" und "Kommentar" gegenüber dem Original

Text erkannt:

Wenn jedes Mitglied zu jedem Raum einen Schlüssel bekommt werden \( 90-100=9000 \) Schlüssel gebraucht. Das wäre die Maximalzahl. \( 90 ! \) kann also nicht richtig sein. Kommentiert vor 19 Stunden von mathe was sonst

Text erkannt:

Antwort 4 IS Jedem Vereinsmitglied 90 Schlüssel fur alle zimmer geben. \( 100^{*} 90=9000 \) sind notwen \( 1+1 \) 1. 1. 1. Kommentieren Melden

vertauscht ?