Eine Firma bietet ein Schmerzmittel an. Die Wirkung (in Prozent) kann in Abhängigkeit von der Dosismenge a (in mg) und der Zeit t (in min) durch die folgende Funktionenschar fa (t)= 2a/100 te hoch -2t/a beschrieben werden. t = 0 sei der Zeitpunkt der Einnahme.
(Bemerkung: „Wirkung in Prozent“ meint den prozentualen Anteil an der maximal möglichen Wirkung.)
Die Graphen in Abb. E.4 zeigen den Verlauf der Wirkung für die Dosismengen a =110 und a = 160.
a) Ordnen Sie den beiden Graphen jeweils den richtigen Parameter begründet zu und beschreiben Sie anhand der Abbildung für beide Dosierungen den unterschiedlichen Verlauf der Wirkung in Worten.
b) Berechnen Sie, wie hoch die prozentuale Wirkung des Medikaments nach 3 Stunden für a =110 und a = 160 ist.
c) Bestimmen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament mit der Dosierungsmenge a = 160 eine Wirkung von mehr als 80 % hat.
d) Berechnen Sie die erste Ableitung von fa(x).
(Kontrolle: ) f'a (t)=(2a/100-4/100 t)*e hoch -2t/a))
Berechnen Sie die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar und erläutern Sie die Bedeutung eines Hochpunktes im Sachkontext.
e): Zeigen Sie dass F 100 (t)=-100*(t+50)e hoch (-t/50) eine Stammfunktion zu f100 (t) =200/100 te hoch -2t/100 =2t*e hoch -t/50 ( hier : a=100) ist.
f) Berechnen Sie die mittlere Wirkung innerhalb von 10 Stunden bei einer einmaligen Einnahme von einer Tablette mit der Dosierung a = 100.