Medikament. Wirkung (in Prozent) kann durch fa (t)= 2a/100 te hoch -2t/a beschrieben werden.

Question

Eine Firma  bietet ein Schmerzmittel an. Die Wirkung (in Prozent) kann in Abhängigkeit von der Dosismenge a (in mg) und der Zeit t (in min) durch die folgende Funktionenschar fa (t)= 2a/100 te hoch -2t/a beschrieben werden. t = 0 sei der Zeitpunkt der Einnahme.

(Bemerkung: „Wirkung in Prozent“ meint den prozentualen Anteil an der maximal möglichen Wirkung.)

Die Graphen in Abb. E.4 zeigen den Verlauf der Wirkung für die Dosismengen a =110 und a = 160.

a) Ordnen Sie den beiden Graphen jeweils den richtigen Parameter begründet zu und beschreiben Sie anhand der Abbildung für beide Dosierungen den unterschiedlichen Verlauf der Wirkung in Worten.

b) Berechnen Sie, wie hoch die prozentuale Wirkung des Medikaments nach 3 Stunden für a =110 und a = 160 ist.

c) Bestimmen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament mit der Dosierungsmenge a = 160 eine Wirkung von mehr als 80 % hat.

d) Berechnen Sie die erste Ableitung von fa(x).

(Kontrolle: ) f'a (t)=(2a/100-4/100 t)*e hoch -2t/a))

Berechnen Sie die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar und erläutern Sie die Bedeutung eines Hochpunktes im Sachkontext.

e): Zeigen Sie dass  F 100 (t)=-100*(t+50)e hoch (-t/50) eine Stammfunktion zu f100 (t) =200/100 te hoch -2t/100 =2t*e hoch -t/50  ( hier : a=100) ist.

f) Berechnen Sie die mittlere Wirkung innerhalb von 10 Stunden bei einer einmaligen Einnahme von einer Tablette mit der Dosierung a = 100.

Comments

  f_a (t)= (2a/100) te ^(-2t/a)  

Sieht die Funktionsgleichung so aus?

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Schau mal bei den "ähnlichen Fragen" weiter unten. So ungefähr sollten deine Rechnungen wohl auch aussehen.Probier mal.

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ja genau , so sieht sie aus

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ich habe mich noch einmal an dieser Aufgabe versucht

 f a (0) = 2*110/100 * 0*e hoch  -2*0/100  ????

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Ist das die Funktion ?
fa (t) = 2a/100 * t   * e^(-2t/a)

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Diese Frage wurde mir leider am 24.11. auch nicht beantwortet.

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Hier der Graph für a = 110

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ich hatte deine Frage beantwortet , schau mal bitte weiter oben

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ja das ist die funktion fa (t) = 2a/100 * t  * e^(-2t/a)

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Nachdem die Funktion einmal geklärt ist. Bist du
jetzt in der Lage die Fragen zu beantworten ?
fa (t) = 2a/100 * t  * e^(-2t/a)

b): Berechnen Sie, wie hoch die prozentuale Wirkung des Medikaments nach 3
Stunden für a =110 und a = 160 ist.
t = 3 * 60 ( in min )
f ₁₁₀ (180) = 2 * 110 /100 * 180  * e^(-2*180/110)
15 %

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mit a=160 mach ich das genauso , aber wo nehme ich das blöde e her ?

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Ich hoffe doch du kennst die Eulersche Zahl
e = 2.71...

Diese ist auf jedem Taschrechner zu finden
f₁₆₀(180) = 2 * 160 /100 * 180  * e^(-2*180/160)
f₁₆₀(180) = 2 * 160 /100 * 180  * (2.71)^(-2*180/160)
60.71 %

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jetzt , wo du es sagst , fällt mir das auch wieder ein , jetzt ist a auch kein Problem mehr

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ich konnte jetzt die ersten drei Aufgaben mit deiner Hilfe lösen , irgendwie will es mit d nicht weiter gehen....

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Vom Duplikat:

Titel: Textaufgabe Graphen Zuordnung

Stichworte: zuordnung

Text

Eine Firma bietet ein Schmerzmittel an. Die Wirkung (in
Prozent) kann in Abhängigkeit von der Dosismenge a (in mg) und der Zeit t (in min)
durch die folgende Funktionenschar fa (t)= 2a/100 te hoch -2t/a beschrieben werden. t = 0 sei
der Zeitpunkt der Einnahme.
(Bemerkung: „Wirkung in Prozent“ meint den prozentualen Anteil an der maximal
möglichen Wirkung.)
Die Graphen in Abb. E.4 zeigen den Verlauf der Wirkung für die Dosismengen

Aufgabe :

a =110 und a = 160.
a) Ordnen Sie den beiden Graphen jeweils den richtigen Parameter begründet zu und beschreiben Sie anhand der Abbildung für beide Dosierungen den unterschiedlichen Verlauf der Wirkung in Worten.

Problem/Ansatz: alle anderen Aufgaben habe ich gelöst mir die kriege ich nicht hin .. bitte um Hilfe

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Graphen fehlen.

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Wie soll man hier ein Bild hinzufügen ? Ich kriege es selbst nie hin

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Unten am Texteingabefenster hat es einen Knopf "Grafik hochladen".

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Ich erstelle nochmal die Frage mit dem Bild keineahnung das wird mir hier nicht angezeigt

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Die Frage ist jetzt online mit dem Bild

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Bitte stelle das Bild hier ein.

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Wie schon bereits erwähnt habe ich gesagt , dass ich nicht weiß wie ich das machen soll es wird mir nicht angezeigt

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Hier ist nochmal das Bild klickt einfach auf den link

https://images.app.goo.gl/xx2SmQmzXooSFy648

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Seufz. Was war denn unklar am Hinweis "Unten am Texteingabefenster hat es einen Knopf "Grafik hochladen" " ?

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Das wird mir nicht unten angezeigt sonst hätte ich logischerweise drauf gedrückt

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...et voila:

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Abgesehen davon, fehlt noch die 2. Graphik.

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Kann sein dass du am pc bist ich bin am Handy und das wird bei mir nicht angezeigt

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Wenn ich nicht die ganze Zeit gemeldet werde und die Frage die ganze Zeit gelöscht wird , wo ich das Bild reinsetzen , wo auch der 2 Graphen zu sehen ist wäre es viel leichter

Answer 1

Und wobei hast du konkret Probleme? Schon bei der Zuordnung der Graphen?  Dann mach zuerst b) dann sollte a) automatisch mit abfallen.

Hier nochmal meine Lösung

a) Ordnen Sie den beiden Graphen jeweils den richtigen Parameter begründet zu und beschreiben Sie anhand der Abbildung für beide Dosierungen den unterschiedlichen Verlauf der Wirkung in Worten.

Man kann die Graphen anhand eines Funktionswertes an einer beliebigen Stelle unterscheiden. Berechne daher z.B. fa(30) für a = 110 und a = 160.

Die Beschreibung des Graphen sollte klar sein.

b) Berechnen Sie, wie hoch die prozentuale Wirkung des Medikaments nach 3 Stunden für a = 110 und a = 160 ist.

f110(180) = 15.01
f160(180) = 60.71

c) Bestimmen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament mit der Dosierungsmenge a = 160 eine Wirkung von mehr als 80 % hat.

f160(t) = 0.02·160·t·e^(- 2·t/160) = 80 → t = 42.56 ∨ t = 134.78
134.78 - 42.56 = 92.22 Minuten

d) Berechnen Sie die erste Ableitung von fa(x). Berechnen Sie die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar und erläutern Sie die Bedeutung eines Hochpunktes im Sachkontext.

fa'(t) = e^(- 2·t/a)·(0.02·a - 0.04·t) = 0 → t = 0.5·a
fa(0.5·a) = 0.01/e·a^2 → HP(0.5·a | 0.01/e·a^2)

Der Hochpunkt ist zum einen die Zeit der höchsten Wirksamkeit nach Einnahme des Medikamentes und die höchste Wirksamkeit in Prozent.

e) Zeigen Sie dass F100(t) = e^(-0.02·t)·(-100·t - 5000) eine Stammfunktion zu f100(t) = 2·t·e^(-0.02·t) ist.

F100(t) = e^(-0.02·t)·(-100·t - 5000)
F100'(t) = -0.02·e^(-0.02·t)·(-100·t - 5000) + e^(-0.02·t)·(-100)
= e^(-0.02·t)·(2·t + 100 -100) = e^(-0.02·t)·(2·t) = f100(t)

f) Berechnen Sie die mittlere Wirkung innerhalb von 10 Stunden bei einer einmaligen Einnahme von einer Tablette mit der Dosierung a = 100.

y = (F100(600) - F100(0)) / (600 - 0) = (-0.4 - (-5000)) / (600 - 0) = 8.333 Prozent

Comments

Ich kann mit der Aufgabe nichts anfangen

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Geht das nicht konkreter? Da geht es doch nur um den Wirkungsgrad eines blöden Medikamentes. 100 bedeutet dann wohl super Wirkung 0 bedeutet also keine Wirkung.

Du wirst doch eine Wertetabelle machen können und dann die Graphen zuordnen können.

Selbst wenn man den Anwendungskontext nicht so gut versteht kann man doch die bekannten Sachen auch rein innermathematisch machen.

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ist das hier nicht eine Seite , wo man seine Fragen stellen darf ???

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Fragen ja. Aber das sind nicht deine Fragen sondern das ist deine Aufgabe und da musst du mithelfen. Du bekommst gratis Reaktionen (und die sind freiwillig).

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Ich habe jetzt oben nochmals meine Lösung dazugefügt. Aber damals kam ja nicht mal ein Ansatz eine Wertetabelle zu berechnen um den Graphen zuzuordnen.

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Hallo nochmal,

ich hoffe ihr könnt mir bei Aufgabenteil c behilflich sein.

Mithilfe des GTR habe ich schon das Maximum der Wirkung berechnet, dies wären laut meiner Rechnung 94,177. Soll ich jetzt davon 80% nehmen, denn so hätte ich ja dann die Zeitspanne.

Oder ist meine Überlegung kompletter Humbug....?

Vielen Dank im Voraus!

J.P

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c) Bestimmen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament mit der Dosierungsmenge a = 160 eine Wirkung von mehr als 80 % hat.

Du sollst berechnen wann die Funktion 80 %
beträgt.

f160(t) = 0.02·160·t·e^(- 2·t/160) = 80 % →
t = 42.56
oder
t = 134.78

Zwischen den beiden Zeiten ist die Wirkung > 80 %

134.78 - 42.56 = 92.22 Minuten

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Danke für die schnelle Antwort!

Aber wie komme ich denn auf die beiden Zeiten.

Also mir fehlt nur dieser Rechenschritt, sonst ist glaube ich alles klar.

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Da in der Gleichung

0.02·160·t·e^(- 2·t/160) = 80

Die Unbekannte t sowohl im Exponenten als auch als Faktor auftritt, kannst du dieses nur näherungsweise z.B. mit einer Wertetabelle lösen. Andere Verfahren wie das Newtonverfahren wären auch möglich, wenn ihr die gelernt habt.

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Die Skizze zeigt dir den Sachverhalt.
Alles oberhalb der roten Linie hat die Wirkung > 80 %

 Kann dein GTR die Gleichung lösen ?

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Ja ok jetzt ist alles klar!

Stand ein bisschen auf dem Schlauch...

Vielen dank für eure Hilfe!!!!

Jonas P.

Answer 2

fa (t) = 2a/100 * t  * e^(-2t/a)

d): Berechnen Sie die erste Ableitung von fa(x).
Anstelle fa(x) muß es fa(t) heißen
Produktregel
f ´( t ) = 2a/100 * ( 1 * e^(-2t/a) + t * e^(-2t/a) * (-2/a ))
f ´( t ) = a/50 * e^(-2t/a) * ( 1 + t * (-2/a ))

ist dasselbe wie
(Kontrolle: ) f strich a (t)=(2a/100-4/100 t)*e hoch -2t/a))

Berechnen Sie die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar und erläutern Sie
die Bedeutung eines Hochpunktes im Sachkontext.

für a=110
fa (t) = 2a/100 * t  * e^(-2t/a)
f110 (t) = 2*110/100 * t  * e^(-2t/110)
f ´( t ) = 110/50 * e^(-2t/110) * ( 1 + t * (-2/110 ))
Extrempunkt
f ´( t ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
( 1 + t * (-2/110 ) = 0
t = -1 / ( -2/110)
t = 55 min

e): Zeigen Sie dass  F 100 (t)=-100*(t+50)e hoch (-t/50) eine Stammfunktion zu f100 (t) =200/100 te hoch -2t/100 =2t*e hoch -t/50  ( hier : a=100) ist.
ist.
Leite groß F wieder ab und vergleiche mit der
Ausgangsfunktion f.

f): Berechnen Sie die mittlere Wirkung innerhalb von 10 Stunden bei einer einmaligen Einnahme von einer Tablette mit der Dosierung a = 100.

t = 10 * 60 = 600 min. Stimmt der Zeitraum ?

[ F 100 ] zwischen 0 und 600 berechnen.
Den Wert durch 600 teilen ergibt die mittlere
Wirkung.
8.33 % ( ??? )

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe , so langsam versteh ich die Aufgabe

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Frag nach bis alles klar ist.
Gruß Georg

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der Zeitraum stimmt , denn der Graph zeigt das auch an

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wie kommst du auf die 8 Prozent

wenn ich  F 100 (t)=-100*(t+50)e hoch (-t/50) nehme , hab ich ein anderes Ergebnis

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F ₁₀₀ zwischen 0 und 600 ist
F ( 600 ) - F ( 0 )
e^(-12) - ( - 5000 )
5000

Der Flächeninhalt unter der Blauen Kurve = 5000

Grün ist der gleiche Flächeninhalt des Rechtecks nach der Formel
x * 600 = 5000
x =  8.33 mittlere Wirkung

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Nur ein kleiner Hinweis:

Berechnen Sie die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar

Das bedeutet man darf bei der Untersuchung der Extrempunkte das a nicht durch einen konkreten Wert ersetzen. Es geht hier eindeutig um die Kurvenschar und nicht um einen Graphen der Schar.

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Dein Einwand ist natürlich komplett richtig.
Wie dir aber auch vielleicht aufgefallen ist
ist meine Beantwortung ein schrittweises Hintasten
an die einzeln Teilfragen.
Weshalb ich dies nur für a=110 durchgeführt habe
weiß ich schon gar nicht mehr, auf jeden Fall
wird damit auch schon eine Stelle mit waagerechter
Tangente berechnet.
Man müßte zudem noch zeigen ob diese Stelle ein
Hochpunkt ist und noch die
" Bedeutung eines Hochpunktes im Sachkontext "
erläutern.

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Kann mir mal bitte jemand helfen und sagen was jetzt mit a ist ich kann’s nicht ich hänge  auch  gerade an der Aufgabe

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Ich schrieb
für a=110
fa (t) = 2a/100 * t * e^(-2*t/a)
f110 (t) = 2*110/100 * t * e^(-2t/110)

a ist zunächst unbestimmt
Durch einsetzen verschiedener Werte
ergibt sich eine Kurvenschar.

Was ist deine Frage ?

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Meine Frage ist wie ich die beiden Graphen jeweils den richtigen parameter zuordnen kann ich kann es nicht begründen ich weiß nicht wie ich das formulieren soll. Ich soll ja für beide Dosierungen den unterschiedlichen Verlauf der Wirkung erklären.

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Das wäre auch meine Frage gewesen

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Du zeichnest die Graphen

blau : a = 100
rot : a = 110

a ist die Anfangsdosismenge

fa (t) = 2a/100 * t * e^(-2t/a)

Für den 1.Term gilt
2a/100 * t : a wird größer, Term wird größer
Für den 2.Term gilt
e^(-2t/a)  : a wird größer, Term wird kleiner

Das Produkt ( der Funktionswert ) wird insgesamt
kleiner da e^(-2t/a) deutlch kleiner wird.
( siehe die Graphen )