Ich habe mich der Aufgabe mal angenommen und unter folgendem Link bearbeitet:
https://docs.google.com/document/d/11j3D_8sELRSodDOR145PVUiK5ihG6zcLd5aLF6HLgeg/pub
Wie du sieht ist es manchmal günstig den Term zunächst in eine e-Funktion zu verwandeln.
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Grenzwert (2^n + n^2)^{1/n}
lim (n → ∞) (2^n + n^2)^{1/n}
lim (n → ∞) e^LN((2^n + n^2)^{1/n})
lim (n → ∞) e^{1/n·LN(2^n + n^2)}
Wir betrachten nur den Exponenten
lim (n → ∞) LN(2^n + n^2)/n
Regel von L'Hospital (mehrfache Anwendung)
lim (n → ∞) (2^n·LN(2) + 2·n)/(2^n + n^2)
lim (n → ∞) (2^n·LN(2)^2 + 2)/(2^n·LN(2) + 2·n)
lim (n → ∞) (2^n·LN(2)^3)/(2^n·LN(2)^2 + 2)
lim (n → ∞) (2^n·LN(2)^4)/(2^n·LN(2)^3)
lim (n → ∞) LN(2)
Der Exponent geht also gegen LN(2)
lim (n → ∞) e^{LN(2)}
lim (n → ∞) 2
Damit ist der Grenzwert 2.