Gruppenhomomorphismen und Verkettungen G → L

Question

ich hänge bei dieser Aufgabe und komme nicht weiter:

Aufgabe:

a) Seien φ : G → H und ψ : H → L zwei Gruppenhomomorphismen. Beweisen Sie, dass die Komposition ψ ◦ φ : G → L auch ein Gruppenhomomorphismus ist.

b) Sei (G, ◦) eine Gruppe. Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus
φ : G → G heißt Automorphismus. Zeigen Sie, dass die Menge der Automorphismen Aut(G) mit der Komposition Aut(G) zu einer Gruppe macht.

Ich weiß zwar die Definitionen, aber ich weiß nicht wie ich das genau zeigen soll.

Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar. :)

Liebe Grüße

Answer 1

zu a) Seien (G, ◦_G), (H, ◦_H) und (L, ◦_L) Gruppen und φ : G → H und ψ : H → L zwei Gruppenhomomorphismen.

Seien g₁, g₂ ∈ G.

Seien h₁, h₂ ∈ H mit φ(g₁) = h₁ und φ(g₂) = h₂.

Seien k₁, k₂ ∈ L mit ψ(h₁) = k₁ und ψ(h₂) = k₂.

Begründe, dass ψ(φ(g₁ ◦_G g₂)) = ψ(φ(g₁)) ◦_L ψ(φ(g₂)) ist.

zu b) Sei (G, ◦) eine Gruppe.

Sei id: G → G mit g ↦ g für alle g ∈ G.

Zeige, dass id(φ(g)) = φ(g) für jedes φ ∈ Aut(G) und jedes g ∈ G gilt. Dann wäre id neutral bezüglich der Komposition. Zeige auch, dass id ∈ Aut(G) ist.

Zeige, dass φ((ψ◦ξ)(g))) = (φ◦ψ)(ξ(g)) für alle φ, ψ, ξ ∈ Aut(G) und jedes g ∈ G ist. Dann wäre die Komposition assoziativ.

Sei φ ∈ Aut(G). Sei φ^-1: G → G eine Abbildung, so dass φ^-1(φ(g)) = g für jedes g ∈ G ist. Begründe, dass φ^-1 existiert und dass φ^-1 ∈ Aut(G) ist.

Comments

Vielen Dank für die Erklärung! :)