Integral und Ableitung: f(x):= e^(-x), x≥0. Volumen des Rotationskörpers?

Question

Gegeben sei die Funktion:

\( f(x) = e^{-x} \)

dabei gilt: {x|x∈R,x≥0}

Aufgabenstellungen:

1. Die Gleichung der Tangente soll an beliebiger Stelle an den Graphen der Funktion aufgestellt werden. Dabei soll sie eine feste Stelle sein x = u

2. Bestimmung des Volumen V des Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen von f zwischen x = 0 und x = 10 um die x-Achse entsteht.

3. Für welches u hat das Dreieck, das aus der Tangente von Aufgabe 1. und den beiden Koordinatenachsen gebildet wird, maximalen Flächeninhalt?

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Welch scheinbare Aufgabenstellung...

Answer 1

2. Bestimmung des Volumen V des Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen von f zwischen x = 0 und x = 10 um die x-Achse entsteht.

f ( x ) = e^(-x)
wird zum Radius des Rotationskörpers
A ( x ) = f^2 * pi
A ( x ) = (e^(-x))^2 * pi
Stammfunktion
S ( x ) = -pi * e^(-2x) / 2
[S ] zwischen 0 und 10
1.57

Kann morgen noch weitergehen.
Dann bitte melden.

Comments

1.)
hier der Lösungsweg

t_u ( x ) = -e^(-u) * x + e ^(-u) * ( 1 + u )

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3.)
Der linke Teil des Dreiecks ist der-Achsenabschnitt der Tangente.
Die Länge des Dreiecks auf der x-Achse ist die Nullstelle von t
t_u ( x ) = -e^(-u) * x + e ^(-u) * ( 1 + u )
Nullstelle
-e^(-u) * x + e ^(-u) * ( 1 + u )  = 0
-e^(-u) * x = - e ^(-u) * ( 1 + u ) 
 x = 1 + u

Dreiecksfläche :
Länge * Höhe / 2
A = ( 1 + u ) * e ^(-u) * ( 1 + u ) / 2
A ´( u ) = ...
Extremstelle
A ´( u ) = ... = 0
u = 1

Ich muß das alles noch einmal nachprüfen.
Bei Bedarf frage nach.

Answer 2

1) Bestimme f'(u).

2) Die Tangente ist eine Gerade der Form y=m*x+n.

m erhältst du durch f'(u).

Da die Tangente auch durch (u; e^-u) gehen soll, kannst du in der Gleichung

y=m*x für x den Wert u, für y den Term e^-u und für m den Term f'(u) einsetzen.

Damit hast du neben m endlich auch n und damit die komplette Tangentengleichung.

Comments

Leider bin ich in dem Gebiet noch nicht sonderlich erfahren und kann mit Textaufgaben wirklich nichts anfangen.

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Gehe Schritt für Schritt vor. Was ist f'(u) ?

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f(u) = 2x
f'(u) = 2

ginge das?