Reelle Matrizen Zeilenoperationen (+Vektoren)

Question

Gegeben seien die reellen Matrizen A = 2 4 1

                                                                3 5 9

                                                                1 2 2

                                                                3 7 5    

 B = 0 1 2 3 4

        5 12 4 7 −1

         1 3 2 5 1 

(a) Bringen Sie die Matrizen mithilfe von Zeilenoperationen auf reduzierte Zeilenstufenform. Geben Sie bei jedem Schritt an, welche Zeilenoperationen sie verwenden. Bestimmen Sie auch den ZSF-Rang der Matrizen in Zeilenstufenform.Hinweis: Man kann hier auch schon mit den erweiterten Matrizen (A:a,b) und (B:c)rechnen um sich bei den nächsten Aufgabenteilen Arbeit zu sparen.Betrachte nun die Vektoren a = −1 6 1 2  b = 3 5 1 2 c = 1 3 3 (a,b,c untereinander)

(b) Welche der Gleichungssysteme Ax = a und Ax = b haben eine Lösung x ∈R3? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls eine Lösung an.

(c) Hat das Gleichungssystem Bx = c eine Lösung x ∈R5? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls eine Lösung an.

Comments

Interessante Klammerungen ;)

Betrachte nun die Vektoren a = −1 6 1 2  b = 3 5 1 2 c = 1 3 3 (a,b,c untereinander)

Folgendermassen?

a = −1 6 1 2 

b = 3 5 1 2 

c = 1 3 3 

(a,b,c untereinander)

und c hat nur 3 Komponenten?

Answer 1

Du kannst Elementarmatrizen verwenden

https://www.geogebra.org/m/qbtj5mhd

um die Einzelschritte zu beschreiben - die verlinkte App muss allerdings angepasst werden.

Erstmal das Ergebnis anschauen, bei einem so fehlerträchtigen Verfahren:

ReducedRowEchelonForm( T(1,3,3) A)

\(\small \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&-4&0&-\frac{41}{3}\\0&1&2&0&6\\0&0&0&1&-\frac{2}{3}\\\end{array}\right)\)

T(1,3,3) tausche Zeile 1,3 einer 3zeilen Matrix

T(3,4,5) tausche Spalte 3,4 einer 5spalten Matrix

A1:=T(1,3,3) A T(3,4,5)

A2:= LE3 LE2 LE1 A1 [LE1 bedeutet Zeile2=(-1/5)Zeile1 + Zeile2  usw]

\(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{5}&0&0\\0&\frac{5}{3}&0\\0&0&-\frac{1}{3}\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&-\frac{5}{3}&1\\\end{array}\right)    \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-\frac{1}{5}&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)  A1  =\left(\begin{array}{rrrrr}1&\frac{12}{5}&\frac{7}{5}&\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\0&1&6&2&2\\0&0&1&0&-\frac{2}{3}\\\end{array}\right)\)

Du musst die Schritte einzeln betrachten...

Hört ihr hier auf, oder macht ihr auch die Rücksubstitution mit Zeilenadditionen?