Linear unabhängige Elemente mit einer Basis

Question

Aufgabe:

a)

$$Zeigen\space Sie,\space dass\space b_{1}:= \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix} und\space b_{2}\space := \begin{pmatrix} 1\\1\\3\\1 \end{pmatrix} linear\space unabhängige\space Elemente\space von\space \mathbb{R}^{4}\space sind.\space Ergänzen\space Sie\space (b_{1}, b_{2})\space zu\space einer\space Basis\space von\space \mathbb{R}^{4}.$$

b)

$$Seien\space b_{1}:=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}, b_{2}:=\begin{pmatrix} -1\\3\\4 \end{pmatrix}, b_{3}:=\begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}, b_{4}:=\begin{pmatrix} -1\\2\\3 \end{pmatrix}.\space Wählen\space Sie\space aus\space den\space (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4})\space eine\space Basis\space von \space \mathbb{R}^{3} aus.$$

Answer 1

Zu a) Zeige, dass man den Nullvektor nur trivial darstellen kann. Das machst du, indem du diese Gleichung löst:

$$ a\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4 \end{pmatrix} +b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$$ Wenn nur a=b=0 rauskommt, dann siend sie linear unanhängig.

Wähle dir nun weitere Veltoren aus dem R^4 aus. Nimm zb \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\). Prüfe wieder auf lineare Unabhängigkeit, indem du nun diese Gleichung hier löst:

$$ a\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4 \end{pmatrix} +b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3\\1 \end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$$. Ist a=b=c=0, dann sind sie linear unabhängig. Falls nicht, dann nimm einen anderen Vektor und gehe wie oben vor. Für den vierten Vektor ebenso verfahren.

Zu b) Wähle dir drei Vektoren aus und prüfe sie wie oben auf lineare Unabhängigkeit.