Basis und Linearkombination Vektoren

Question

Aufgabe:

v1(1  2  3), v2 (-4  5  6), v3(7  -8  9), v4(5  1  21) element R^3

a) Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 eine Basis von R3 bilden.

b) Schreiben Sie den Vektor v4 als Linearkombination von v1, v2, v3.

Also bei a habe ich das nach dem Gauß-Verfahren gelöst

und habe dabei dann das raus bekommen.

1  -4    7     5

0  13  -22  -9

0  18   -12   6

das heißt das die Vektoren linear unabhängig sind und Basen bestehen. reicht das so aus, dass so zu begründen oder müsste man das noch zeigen?

bei b) komme ich nicht so ganz weiter, wenn iich das als Linearkombination darstellen will, dann muss ich ja so anfangen

λ1 - 4λ2 + 7λ3 = 5

13λ2 - 22λ3 = -9

18λ2 - 12λ3 = 6

Hier weiß ich gerade auch nicht weiter.

Wäre das bis jetzt so richtig? Könnte mir da jemand vielleicht weiterhelfen?

Answer 1

b):

13λ2 - 22λ3 = -9  I *(-18)

18λ2 - 12λ3 = 6   I *(-13) Dann addieren: Es fehlt der 2. Gaussschritt

zu a): Die 4. Spalte muss 0,0,0 sein. Dann 2 Gaussschritte. v4 spielt hier nicht mit!

Es kommt dann heraus: λ1= λ2= λ3 =0, also l.u.

Das LGS heißt so:

λ1   λ2   λ3

1    -4     7     5
2     5    -8     1
3     6     9    21

dann
1 -4   7 5
0 13 -22 -9
0 18 -12 6

dann

1 -4     7                5
0 13   -22            -9
0  0     240/13    240/13

also
λ1=2  λ2=1  λ3=1

Linearkomb:

2 v₁ + 1*v₂ + 1*v₃ =v₄

Comments

ok erstmal zu a) da mache ich das Gaußverfahren dann nur mit v1,v2 und v3? oder wie meinst du das? war in der Aufgabenstellung auch etwas verwirrt, dass da nicht v4 erwähnt war.

Dann wird das zu

1   -4   7

2    5   -8

3    6    9

Würde das dann als Interpretation reichen, dass das eine Basis von R^3 bildet, da das Ergebnis linear unabhängig ist?

b) gucke ich mir gleich mal genauer an

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a): Der rechte Vektor ist der Nullvektor (statt v4)

Da der R3 3 dimensional ist und 3 l.u. Vektoren aus R3 da sind, bilden die eine Basis.

s. neuer Lösungshinweis oben!

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Vielen Dank schon mal dafür!

Bei b) habe ich dann

λ3=1

13λ2 - 22λ3 = -9

1λ1 +.4λ2 + 7λ3 =5

Dann rechne ich noch λ1 und λ2 aus.

Dann wäre λ2=1

und λ1= - 6

Jetzt weiß ich leider nicht genau, wie ich weiter machen soll, bzw. wie ich genau die Linearkombination darstellen soll

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siehe Lösung oben

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Vielen Dank!