Matrix in eine andere Matrix überführen

Question

Aufgabe:

Ich stehe vor folgendem Problem. Ich habe zwei Matrizen A,B $\in \mathbb{K}^{n,n}$ gegeben.

Nun will eine invertierbare Matrix S $\in \mathbb{K}^{n,n}$ finden, sodass diese Gleichung:

$$B=S\cdot A\cdot S^{-1}$$

erfüllt ist.

Beispielsweise wäre für diese zwei Matrizen $A=\begin{pmatrix}8 & 2\\ -6 & 1 \end{pmatrix}$ und $B=\begin{pmatrix}-28 & 176\\ -6 & 37 \end{pmatrix}$ mit $S=\begin{pmatrix}1 & 6\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ diese Gleichheit erfüllt, denn:

$$\begin{pmatrix}-28 & 176\\ -6 & 37 \end{pmatrix}=B=S\cdot A \cdot S^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 6\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}8 & 2\\ -6 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & -6\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Hier habe ich mir zuerst A und S ausgedacht und dann das Ergebnis als B definiert. Aber wie kann ich nun andersherum S erhalten, wenn ich nur A und B gegeben habe?

Comments

Wenn A und B zueinander ähnlich sind, haben sie das gleiche charakteristische Polynom. Wenn das in Linearfaktoren zerfällt, existiert die ebenfalls gleiche Jordan-Normalform. Aus J=H^-1AH und J= G^-1BG berechne dein S. Wenn das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt, funktioniert das mit der Frobenius-Normalform.

Answer 1

Ohne den Hintergrund zu kennen, rein formal

$\small Sij \, := \, \left(\begin{array}{rr}a11&a12\\a21&a22\\\end{array}\right)$

Sij A - B Sij = 0

$\small Sij= \left(\begin{array}{rr}\frac{29}{6} \; a21 + a22&-\frac{1}{3} \; a21 + 6 \; a22\\a21&a22\\\end{array}\right)$

Comments

Hmm. Also eigentlich geht es um ähnliche Matrizen, bei dem die Gleichung $B=S\cdot A\cdot S^{-1}$ gilt.

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Ich verstehe nicht wie man in diesem Zusammenhang (ähnliche Matrizen) eine geeignete Matrix S findet.

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Naja dann,

für a22=1, a21=0 hast Du Deine Matrix....

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Aber wie kommt man darauf? (Ich habe es selber versucht, bin aber gescheitert.)

Was muss getan werden, um S zu erhalten?

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Ich habe das auch mal an diesem Beispiel hier probiert:

Und das ist ja wohl der falsche Weg. Was muss stattdessen getan werden?