Question

Normalform einer Ebene in Parameterform umwandeln.

\( D: \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \cdot \vec{x}-1=0 \)

 An sich verstehe ich was ich machen muss. Ich verstehe die obige Schreibweise nur nicht. Normalerweise sollte man einen normalvektor, x, y, z und einen Punkt haben. Was ist also mit "x-1" gemeint?

Ist das überhaupt möglich?

Ansatz:

Ist damit einfach gemeint das der vektor so aussieht? (x-1,y-1,z-1)? Bzw. x1, x2, x3 jeh nachdem wie man es schreiben möchte?

Comments

Der Vektorpfeil fehlt: \(\vec{x}\).

Das führt leider dazu, dass der Vektor und seine x-Koordinate oft verwechselt werden.

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

Außerdem heißt es Normalenvektor, aber das ist hier nicht entscheidend.

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Könntest du mir eventuell Sagen was ich mit dem z Wert machen muss? Alle Formeln die ich habe sind mit einem z-Wert ungleich 0. Und egal was ich versuche ich bleibe dabei hängen das mir dieser Wert fehlt und ich nicht weiß wie ich damit umzugehen habe..

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Das liegt daran, dass die z-Koordinate beliebig sein kann.

Für die Parameterform brauchst du entweder drei Punkte in der Ebene oder einen Punkt und zwei Richtungsvektoren.

Einen passenden Punkt findest du, indem du z.B. die x-Koordinate 0 wählst und die y-Koordinate ausrechnest. → \(y=\sqrt{2}\), Da z beliebig ist, hast du als Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0\\ \sqrt{2}\\ 73 \end{pmatrix} \).

Die Richtungsvektoren müssen orthogonal zum Normalenvektor verlaufen.

Zum Beispiel:

\(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \)

\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Den Rest schaffst du!

Answer 1

Da steht nirgendwo "x-1".

Es gilt seit Grundschultagen "Punktrechnung vor Strichrechnung".

Addiere 1 auf beiden Seiten, und du siehst wieder klar...

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Also muss ich meinen Punkt so wählen das er multipliziert mit dem normalenvektor =1 ist? Das würde dann ja wegen der 0 gar nicht gehen. Ich stehe gerade leider komplett auf dem Schlauch..

Answer 2

$$ D: \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \cdot \vec x-1=0 $$

$$ D: \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \cdot \vec x = 1 $$

$$ D: \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-x + y ) = 1 $$

 D : -x + y  = √(2)

usw.

So kommst du zur Koordinatenform (wenn ich noch nichts falsch gemacht habe). Bitte selbst nachrechnen.

[spoiler]

Für eine Parameterform der Ebenengleichung brauchst du aber nur 3 Punkte auf der Ebene. Die kannst du einfach "erfinden".

Bsp. A(-√(2) | 0 |0 ), B(0 | √(2} | 0, C(0|√(2) | 17)

usw.

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Wie kommst du von deinem zweiten Schritt auf den dritten? Ist damit gemeint das x=-1,y=1 und z=0 ist? Wie kommst du dann auf dein "C"?

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Skalarprodukt der beiden Vektoren

(-1 , 1, 0)^T * (x, y, z)^T = (-1)* x + 1 * y + 0*z

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So leid es mir tut ich versteh es leider einfach nicht. Brauch man für die Koordinaten Form nicht den normal vektor und einen Stützvektor? Ich steige nicht ganz durch was was ist in dieser gleichung. Könntest du das bitte noch einmal für blöde erklären?

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(-1 , 1, 0)^{T} * (x, y, z)^{T}

Der blaue Teil ist ein Normalenvektor auf D.

Ein paar Punkte auf der Ebene D habe ich dir angegeben.

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Schreckt dich der Bruch mit der Wurzel vorne noch ab? 

Schau mal, was hier gemacht wurde https://www.mathelounge.de/124845/parameterform-von-ebene-e-7-3-1-x-0-4-0-0-bestimmen . Da kommen nicht gleich Wurzeln vor. 

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Ich habe jetzt folgende gleichung

(1/wurzel(2))*(-1 , 1, 0)T * (x, y, z)T = 1

Daraus komme ich auf

-(1/wurzel2)x+(1/wurzel2)y+0z=1

Das macht dann

{1/-(1/wurzel2),0,0},{0,1/(1/wurzel2),0},{0,0,0}

Denn durch 0 kann man ja nicht teilen?

Das mit dem letzten Punkt also {0,0,0} bereitet mir Kopfschmerzen. Das mit den Punkten ausdenken verstehe ich leider auch nicht so ganz.

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Verwende das Assoziativgesetz:

Rechne statt:

((1/wurzel(2))*(-1 , 1, 0)T) * (x, y, z)T = 1

Einfach

(1/wurzel(2))*((-1 , 1, 0)T * (x, y, z)T)  = 1

und dann erst mal "mal wurzel 2", damit der Bruch weg ist.

(-1 , 1, 0)T * (x, y, z)T = 1 * wurzel(2) 

usw. s.o.

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So würde ich es ausrechnen, nur weiß ich jetzt nicht was ich bei dem Fragezeichen tun soll. Ist das irrelevant weil die Ebene orthogonal zur z-Achse liegt?

$$ -1 x+7 y+0 . z=\sqrt{2} $$

\( S_1 (-\sqrt{2} | 0 | 0) 1x=\sqrt{2} \)
\( S_2 (D(\sqrt{2} | 0) 1=\sqrt{2} \quad \) Spurpunkte
\( S_3 (0 | 0 | ?) 0=\sqrt{2} \)
\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}{-\sqrt{2}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+g \cdot\left(\begin{array}{c}{\sqrt{2}} \\ {\sqrt{2}} \\ {0}\end{array}\right)+f \cdot\left(\begin{array}{c}{-\sqrt{2}} \\ {0} \\ {?}\end{array}\right) \)

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Beim Fragezeichen kannst du einsetzen, was du willst. Durch den Faktor 0 ist das nachher eh weg.

Du musst also neben z.B. z=5 oder 12 oder -100 usw. und z.B. x=0 noch y=√(2) nehmen.

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Also so?

$$ -1 x+ 1 y+0·z = \sqrt{2} $$
\( S_1 (-\sqrt{2}|0| 0) -1 x=\sqrt{2} \)
\( S_2 (0 | \sqrt{2} | 0) 1=\sqrt{2} \)
\( S_3 (0|0|2) 0=\sqrt{2} \)

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}{-\sqrt{2}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+g \cdot\left(\begin{array}{c}{\sqrt{2}} \\ {\sqrt{2}} \\ {0}\end{array}\right)+ f \cdot\left(\begin{array}{c}{-\sqrt{2}} \\ {\sqrt{2}} \\ {2}\end{array}\right) \)

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y bei S3 darf nicht 0 sein. Sonst kommst du nicht auf √(2).

Folglich passt der zweite Richtungsvektor nicht.

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\( -1 x+ 1y + 0·2 = \sqrt{2} \)
\( S_1(-\sqrt{2} | 0|0) -1 x =\sqrt{2} \)

\( S_{2}(0 | \sqrt{2} | 0) 1=\sqrt{2} \)
\( S_{3}(0|0|2) 0=\sqrt{2} \)

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}{-\sqrt{2}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) + g \cdot\left(\begin{array}{c}{\sqrt{2}} \\ {\sqrt{2}} \\ {0}\end{array}\right) + f \cdot\left(\begin{array}{c}{-\sqrt{2}} \\ {\sqrt{2}} \\ {2}\end{array}\right) \)

So? Tut mir leid, dass ich das so schlecht verstehe. Egal was ich mir dazu angucke, das sieht alles anders aus.

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Das im Bild ist jetzt richtig, falls ich mich ganz oben nicht verrechnet habe. (Texterkennung werde ich nochmals reklamieren. Die tut gar nicht das was sie soll und ist alles andere als intelligent).

Nun zu deiner Parameterdarstellung von E. Sie lässt sich noch vereinfachen zu:

E: X = (-√(2) | 0 |0 ) + g * (1|1|0) + f * (-1 | 1 | √(2) ) , g, f ∈ ℝ

Grund: Richtungsvektoren werden mit den Parametern ( von dir g und f genannt) sowieso noch in der Länge verändert. Daher kann man sie "kürzen". Das ist mit dem Stützpunkt nicht erlaubt. Darum bleibt dieser bei meiner Vereinfachung unberührt.

Egal was ich mir dazu angucke das sieht alles anders aus..

Das ist gut so. Eine Ebene enthält unendlich viele Punkte. Da ist es ein Zufall, wenn zwei Personen die gleichen 3 Punkte wählen, um eine Parametergleichung für die Ebene anzugeben.

Wenn du Ebenengleichungen vergleichen möchtest, benutzt du am besten die Hessesche Normalform. Die Parametergleichungen kannst du alle auf diese Form bringen, sollten sie denn korrekt sein.

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Hab sehr vielen Dank! Es ist zwar noch nicht zu 100% drin, aber viele Fragen sind geklärt. Werde wohl noch etwas üben und dann sollte es passen :)

Nein ich meine eher das die normalform selten so angegeben wird wie in dieser Aufgabe. Die sieht immer anders aus, bzw. So das einem direkt klar wird womit man rechnen muss.

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\( -1 x=\sqrt{2} \)
\( 1=\sqrt{2} \)
\( 0=-\sqrt{2} \)

Was hier von dir als Kopfrechnung gedacht war, um die Koordinten der drei Punkte zu bestimmen wird von der Texterkennung fälschlicherweise als Teil der Rechnung interpretiert. Lasse künftig mehr Abstand, ergänze einen vertikalen Balken und erkläre dahinter den Menschen, die das lesen, besser, was du tust.

| -1 * √(2) + 0 = √(2)

| 1 * √(2) + 0 = √(2)

| 1 * √(2) + 0 = √(2)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform#Darstellung_2

Richtig. Die allgemeine Darstellung mit dem Skalarprodukt im Link wird dann im Beispiel zu einer Zeilendarstellung.

Ist beispielsweise ein normierter Normalenvektor einer gegebenen Ebene \( \vec{n}_{0}=\left(\begin{array}{c}{\frac{2}{3}} \\ {\frac{1}{3}} \\ {-\frac{2}{3}}\end{array}\right) \) und der Abstand der Ebene vom Ursprung \( d = \frac{4}{3} \) so erhält man als Ebenengleichung:
$$ \frac{2}{3} x+\frac{1}{3} y-\frac{2}{3} z=\frac{4}{3} $$
Jede Wahl von \( (x,y,z) \), die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise (1,2,0) oder (2,-2,-1), entspricht dann einem Ebenenpunkt.

Allgemein: E: x * n_1 + y * n_2 + z * n_3 = d , wobei n_1^2 + n_2^3 + n_3^2 = 1.