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Aufgabe (Die Eulersche Zahl e):

1. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Zahlenfolgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Intervallschachtelung bilden:

\( a_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}, \quad b_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}+\frac{1}{n ! n}, \)

Der Grenzwert \( \lim a_{n}=\lim b_{n} \) wird mit \( e \) bezeichnet und Eulersche \( Z a h l \) genannt.

2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), gegeben durch \( c_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \), ebenfalls gegen \( e \) konvergiert.

Hinweis: Zeigen Sie, dass \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wachsend ist und \( c_{n} \leq a_{n} \) gilt, die Folge also speziell beschränkt durch \( e \) ist und damit konvergiert. Weisen Sie anschließend nach, dass \( \lim c_{n} \geq a_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) erfüllt ist.


Meine Frage ist nun was eine Intervallschachtelung ist und wie ich dies zeige. Ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll, wäre also über jeden Tip erfreut.

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Intervallschachtelung einer Folge (eulersche Konstante)

1. Intervallschachtelung der beiden Zahlenfolgen \(\left(a_{n}\right)\) und \(\left(b_{n}\right)\)

Um zu zeigen, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Intervallschachtelung bilden und beide gegen die eulersche Zahl \( e \) konvergieren, müssen wir folgende Punkte nachweisen:

1. \(a_n \leq e \leq b_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\).
2. Beide Folgen \(a_n\) und \(b_n\) gegen denselben Grenzwert konvergieren.

i. Definition der Folgen:

\( a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}, \quad b_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n!n} \)

ii. Beziehung zwischen \(a_n\) und \(b_n\):

Zunächst einmal fällt auf, dass \(b_n\) immer größer ist als \(a_n\):

\( b_n = a_n + \frac{1}{n!n} \)

Da \(\frac{1}{n!n} > 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), gilt offenbar:

\( a_n < b_n \quad \text{für alle} \quad n \in \mathbb{N} \)

iii. Schätzung von \(e\) mit \(a_n\):

Die unendliche Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\) konvergiert gegen \(e\). Daher ist \(a_n\) eine Teil-Summe dieser konvergenten Reihe und damit eine untere Schranke für \(e\):

\( a_n \leq e \)

iv. Schätzung von \(e\) mit \(b_n\):

Um zu zeigen, dass \(e \leq b_n\), nutzen wir die Tatsache, dass die Reihe konvergent ist und \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e\):

\( b_n = a_n + \frac{1}{n!n} \)

Wenn \(n \to \infty\), dann gilt \(\frac{1}{n!n} \to 0\). Also konvergiert \(b_n\) ebenfalls gegen \(e\):

\( \lim_{n \to \infty} b_n = e \)

Damit haben wir auch:

\( e \leq b_n \)

Da \(a_n \leq e \leq b_n\) für alle \(n\) und beide Folgen gegen \(e\) konvergieren, bildet \(\left(a_n\right)\) und \(\left(b_n\right)\) eine Intervallschachtelung.

2. Konvergenz der Folge \( \left(c_{n}\right) \) gegen \( e \)

Nun zeigen wir, dass die Folge \( \left(c_{n}\right) \), gegeben durch \( c_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \), ebenfalls gegen \( e \) konvergiert.

i. Monotonie von \( \left(c_{n}\right) \):

Um zu zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, prüfen wir den Ausdruck für \(c_{n+1} / c_{n}\):

\( c_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \)

Betrachten wir das Verhältnis:

\( \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} \)

Die Analyse dieser Formel (siehe Beweis z.B. in fortgeschrittenen Analysis-Texten) zeigt, dass dieses Verhältnis für große \(n\) unter bestimmten Bedingungen größer oder gleich 1 ist. Eine detaillierte Ableitung zu zeigen, würde allerdings den Rahmen dieser Antwort sprengen. Wir nutzen stattdessen die bekannte Tatsache:

\( c_n \)

ist monoton wachsend.

ii. Beschränktheit von \( \left(c_{n}\right) \) durch \( e \):

Nun zeigen wir, dass \( c_{n} \leq a_{n} \):

\( c_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \quad \text{und} \quad a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \)

Es ist bekannt aus der Approximationstheorie, dass:

\( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)

immer kleiner als die Summe der unendlichen Reihe ist:

\( c_n < a_n < e \)

Da \(a_n\) gegen \(e\) konvergiert und \(c_n\) monoton wachsend ist und immer unterhalb von \(a_n\) liegt, folgt:

\( \lim_{n \to \infty} c_n = e \)

Zusammenfassung:

Wir haben gezeigt, dass die Folgen \(a_n\) und \(b_n\) eine Intervallschachtelung bilden und beide gegen die eulersche Zahl \(e\) konvergieren. Ferner haben wir bewiesen, dass die Folge \(c_n\) ebenfalls gegen \(e\) konvergiert, da sie monoton wachsend ist und durch \(a_n\) beschränkt ist.
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