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Intervallschachtelung einer Folge (eulersche Konstante)
1. Intervallschachtelung der beiden Zahlenfolgen \(\left(a_{n}\right)\) und \(\left(b_{n}\right)\)
Um zu zeigen, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Intervallschachtelung bilden und beide gegen die eulersche Zahl \( e \) konvergieren, müssen wir folgende Punkte nachweisen:
1. \(a_n \leq e \leq b_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\).
2. Beide Folgen \(a_n\) und \(b_n\) gegen denselben Grenzwert konvergieren.
i. Definition der Folgen:
\(
a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}, \quad b_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n!n}
\)
ii. Beziehung zwischen \(a_n\) und \(b_n\):
Zunächst einmal fällt auf, dass \(b_n\) immer größer ist als \(a_n\):
\(
b_n = a_n + \frac{1}{n!n}
\)
Da \(\frac{1}{n!n} > 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), gilt offenbar:
\(
a_n < b_n \quad \text{für alle} \quad n \in \mathbb{N}
\)
iii. Schätzung von \(e\) mit \(a_n\):
Die unendliche Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\) konvergiert gegen \(e\). Daher ist \(a_n\) eine Teil-Summe dieser konvergenten Reihe und damit eine untere Schranke für \(e\):
\(
a_n \leq e
\)
iv. Schätzung von \(e\) mit \(b_n\):
Um zu zeigen, dass \(e \leq b_n\), nutzen wir die Tatsache, dass die Reihe konvergent ist und \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e\):
\(
b_n = a_n + \frac{1}{n!n}
\)
Wenn \(n \to \infty\), dann gilt \(\frac{1}{n!n} \to 0\). Also konvergiert \(b_n\) ebenfalls gegen \(e\):
\(
\lim_{n \to \infty} b_n = e
\)
Damit haben wir auch:
\(
e \leq b_n
\)
Da \(a_n \leq e \leq b_n\) für alle \(n\) und beide Folgen gegen \(e\) konvergieren, bildet \(\left(a_n\right)\) und \(\left(b_n\right)\) eine Intervallschachtelung.
2. Konvergenz der Folge \( \left(c_{n}\right) \) gegen \( e \)
Nun zeigen wir, dass die Folge \( \left(c_{n}\right) \), gegeben durch \( c_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \), ebenfalls gegen \( e \) konvergiert.
i. Monotonie von \( \left(c_{n}\right) \):
Um zu zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, prüfen wir den Ausdruck für \(c_{n+1} / c_{n}\):
\(
c_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}
\)
Betrachten wir das Verhältnis:
\(
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}
\)
Die Analyse dieser Formel (siehe Beweis z.B. in fortgeschrittenen Analysis-Texten) zeigt, dass dieses Verhältnis für große \(n\) unter bestimmten Bedingungen größer oder gleich 1 ist. Eine detaillierte Ableitung zu zeigen, würde allerdings den Rahmen dieser Antwort sprengen. Wir nutzen stattdessen die bekannte Tatsache:
\(
c_n
\)
ist monoton wachsend.
ii. Beschränktheit von \( \left(c_{n}\right) \) durch \( e \):
Nun zeigen wir, dass \( c_{n} \leq a_{n} \):
\(
c_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \quad \text{und} \quad a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}
\)
Es ist bekannt aus der Approximationstheorie, dass:
\(
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\)
immer kleiner als die Summe der unendlichen Reihe ist:
\(
c_n < a_n < e
\)
Da \(a_n\) gegen \(e\) konvergiert und \(c_n\) monoton wachsend ist und immer unterhalb von \(a_n\) liegt, folgt:
\(
\lim_{n \to \infty} c_n = e
\)
Zusammenfassung:
Wir haben gezeigt, dass die Folgen \(a_n\) und \(b_n\) eine Intervallschachtelung bilden und beide gegen die eulersche Zahl \(e\) konvergieren. Ferner haben wir bewiesen, dass die Folge \(c_n\) ebenfalls gegen \(e\) konvergiert, da sie monoton wachsend ist und durch \(a_n\) beschränkt ist.
