Verstehe die Begründung nicht, dass diese Intervallschachtelung gegen die eulersche Zahl geht

Question

in einem Script habe ich gelesen

$$Fuer~die~eulersche~Zahl~e := \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n~ist$$

$$I_n := [a_n, b_n]~mit~a_n := (1 + \frac{1}{n})^n ~und~ b_n := (1 + \frac{1}{n})^{n+1}$$

$$eine~Intervallschachtelung,~denn~die~Folge~der~a_n~ist~monoton~wachsend,~die~Folge$$

$$der~b_n~ist~monoton~fallend,~für~alle~n \in \mathbb{N}~gilt~a_n < b_n ~und~die~Intervall-Länge~$$

$$wird~mit~wachsendem~n~beliebig~klein.$$

Die Begriffe monoton fallend und monoton wachsend sind mir bekannt. Ich verstehe nur nicht, warum aus der Begründung folgen soll, dass diese Intervallschachtelung gegen e geht?

Könnte mir das jemand erklären?

Danke,

Thilo

Answer 1

hi

beide folgen haben den grenzwert e.

die folge a_n pirscht sich von unten, die folge b_n von oben an e heran.

lg

Comments

Ja aber warum pirschen sie sich "ausgerechnet" an e heran und nicht an irgendeine andere Zahl?

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weil e der grenzwert beider folgen ist.

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Achso, das war nur eine Begründung dafür, dass In mit diesen Intervallgrenzen eine Intervallschachtelung ist. Nicht, dass der Grenzwert beider Folgen e ist. Richtig?

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das In eine intervallschachtelung ist, ergibt sich daraus, dass
bn - an eine nullfolge ist.
das e der grenzwert beider folgen ist, das ist doch sowieso schon
definiert.
wenn bn - an null ist, kann das doch nur be an = e = bn sein
insgesamt gilt dann
|In| = bn - an
lim n→∞ |In| = 0 ⇒ ∃ e ∈ ∩ In, n ≥ 1

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Ja, danke. Dann war meine Frage eher eine andere, nämlich woher (1 + 1/n)^n = e mit n -> unendlich kommt. Also eigentlich, was e überhaupt ist und welche Eigenschaften e hat. Naja, das ist eine andere Frage und werde mich dahingehend weiter informieren.

Danke.