Hallo,
Begründe, dass bei der Intervallschachtelung von Seite 10 für \( \sqrt{2} \) die Genauigkeit der Näherung pro Schritt um eine Stelle zunimmt.
Das kann man natürlich nur begründen, wenn man weiß, wie diese "Intervallschachtelung" funktioniert. Es scheint wohl so zu sein, dass einfach mit der nächsten (freien) Ziffer alle Zahlen im gefunden Intervall durchprobiert werden.
D.h. man beginnt bei \(1\) und probiert die Zehnerstelle durch$$\begin{array}{cl}x& x^2\\\hline 1.0& 1\\ 1.1& 1.21\\ 1.2& 1.44\\ 1.3& 1.69\\ 1.4& 1.96\\ 1.5& 2.25\end{array}$$Aha! das nächste Intervall wäre \([1,4;\,1,5]\), dort ist der Übergang von \(x^2\lt2\) zu \(x^2\gt2\). Weiter geht's mit der Hundertstellstelle:$$\begin{array}{cl}x& x^2\\\hline 1.40& 1.96\\ 1.41& 1.9881\\ 1.42& 2.0164\end{array}$$hier wird man schneller fündig bei \([1,41,\,1,42]\). Nächster Schritt:$$\begin{array}{cl}x& x^2\\\hline 1.410& 1.9881\\ 1.411& 1.990921\\ 1.412& 1.993744\\ 1.413& 1.996569\\ 1.414& 1.999396\\ 1.415& 2.002225\end{array}$$gibt \([1,414,\,1,415]\). usw.
Das Heron-Verfahren dagegen verdoppelt in etwa die Anzahl der Nachkommastellen mit jedem Schritt. Außerdem hat man pro Schritt weniger Rechenaufwand:$$\begin{array}{ll}x& x^2\\\hline 1& 1\\ 1.5& 2.25\\ 1.42& 2.006944444\\ 1.4142& 2.000006007\\ 1.414213562& 2\end{array}$$es ist also wesentlich effektiver
