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Aufgabe:

Warum ist die Funktion

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\left\{\begin{array}{} 4 x-3 && x<-100 \\ & \text {für} & \\ 4 x-3 && x>-100 \end{array}\right. \)
nicht stetig?


Problem/Ansatz:

Wie kann man zeigen, dass die Funktion nicht stetig ist und woran erkennt man hier die Unstetigkeit?

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Das, was da steht, ist keine Funktion, da f(-100) nicht definiert wird.

Diese Funktions ist stückweise definiert.

In Definitionslücken sind Funktionen nicht stetig.

Kommt da vielleicht noch eine Teilfrage mit "stetig fortsetzbar" oder so?

Leider ist als Definitionsbereich als ganz \(\mathbb{R}\) angegeben.

Hätte dort \(f:\; \mathbb{R}\backslash \{-100\}\rightarrow \mathbb{R}\)

gestanden, dann wäre es eine Funktion. So ist es bestenfalls eine

Relation \(\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}\), da sie nicht linkstotal ist.

Mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\backslash \{-100\}\) ist dann natürlich

die Frage nach der stetigen Fortsetzung sinnvoll.

So, wie es da steht, ist die Frage nach der Stetigkeit unsinnig;

es handelt sich um einen Kategorienfehler.

2 Antworten

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Die Stelle x = -100 ist nicht definiert. Lücke im Definitionsbereich.

Avatar von 81 k 🚀
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Aloha :)

Bei \(x=-100\) hat sie keinen Funktionswert. Hier musst du beim Zeichnen also den Stift kurz absetzen ;)

Avatar von 152 k 🚀

Es handelt sich hier um eine Frage wie

"Hat der augenblickliche König von Frankreich eine Glatze?"

Beim Zeichnen der stetigen Funktion

\(g:(-\infty, -100)\cup(-100,\infty)\rightarrow \mathbb{R},\; x\mapsto 4x-3\)

muss man auch den Stift absetzen ;-)

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