Eigenschaften der Kongruenz Modulo 5

Question

Aufgabe (Kongruenz modulo).

Für \( x, y \in \mathbb{Z} \) gelte genau dann \( x \equiv_{5} y \), wenn es ein \( p \in \mathbb{Z} \) mit \( x=5 p+y \) gibt.

(a) Zeigen Sie, dass \( \equiv_{5} \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb{Z} \) ist.

(b) Zeigen Sie: Für \( x, y \in \mathbb{Z} \) gilt genau dann \( x \equiv_{5} y \), wenn \( 5 \mid x-y \) gilt.

(c) Zeigen Sie: Für \( x, \tilde{x}, y, \tilde{y} \in \mathbb{Z} \) mit \( x \equiv_{5} \tilde{x} \) und \( y \equiv_{5} \tilde{y} \) gilt auch \( x+y \equiv_{5} \tilde{x}+\tilde{y} \) und \( x y \equiv_{5} \tilde{x} \tilde{y} \).

(d) Bestimmen Sie \( \mathbb{Z} / \equiv_{5} \). Wieviele Elemente hat der Quotient?

(e) Es seien eine Menge \( X \) und eine Äquivalenzrelation \( c \) auf \( X \) gegeben. Eine Transversale von \( X \) bzgl. \( c \) ist eine Teilmenge \( T \) von \( X \) so, dass es für jedes \( K \in X / c \) genau ein \( t \in T \) mit \( K=[t]_{c} \) gibt. Geben Sie zwei Transversalen von \( \mathbb{Z} \) bzgl. \( \equiv_{5} \) an.

(f) Zeigen Sie durch Induktion: Für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( 3^{4 n-1} \equiv_{5} 2 \).

Answer 1

zu (c)

es geht hier nur darum, die Definitionen einzusetzen

x≡x' => x=5p+x', y≡y' => y=5p'+x'

x+y=5p+x'+5p'+x'=5(p+p')+(x'+y')  mit r:=p+p'∈ℤ => x+y≡x'+y'

Multiplikation analog

zu (d)

Hier sollen nur alle Äquivalenzklassen dargestellt werden, also alle x, für die gilt x≡y sollen zusammengefasst werden, diese sind konkret [0], [1], [2], [3], [4] oder durch entsprechende Repräsentanten dargestellt