Gleichungssystem über Körper Fp mit p=743

Question

Aufgabe:

X und y sind die Standardrepräsentanten der eindeutigen Lösung des folgenden Gleichungssystems über dem Körper Fp mit p=743.

3x+5y=341

9x+513y=458

Über allen Zahlen sind Striche.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier leider nicht weiter, kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Eine möglicher Ansatz ist der folgende.
Multipliziere die erste Gleichung mit 3 und erhalte
9x+15y=280
9x+513y=458.
Subtrahieren liefert
498y=178.
Finde das Inverse von 498 mod p z.B. mit dem Euklidischen Algorithmus. Es ist 498·279=1 mod p und damit
y=178·279=624.
Analog folgt x=312.

Comments

vielen Dank für deine Hilfe, dass habe ich jetzt soweit verstanden. Beim Ausrechnen von x komme ich zwischendurch auf einen sehr hohen Wert, mit dem ich am Ende nicht bei x=312 lande. Ich muss ja die beiden y in den Gleichungen wegbekommen und mit subtrahieren komme ich da nicht weit. Kannst du mir dafür den Rechenweg zeigen?

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Setze y=624 in deine erste Gleichung ein und erhalte 3x=341-5y=193. Das Inverse von 3 ist 248. Damit ist x=248·193=312.