Gleichung mit Substitution lösen

Question

Aufgabe:

Lösen sie die Gleichung mithilfe einer Substitution.

Problem/Ansatz:

a) 2x^4-8x²-90 = 0

b) x⁶ -10x³+9 = 0

Comments

b) x⁶ -10x³+9 = 0            

ich setzte für x⁶ = z²      ←Substitution

und für          x³ = z         

Dann bekommst du die Gleichung → 0 =  z² - 10z + 9

So jetzt setzt du es wieder in die p-q-Formel  (Die p-q-Formel habe ich oben stehen.)

z_1/2/3/4 = - \((-\frac{10}{2}) \) ±   \( \sqrt{(-\frac{10}{2})² - 9} \)

z_1/2/3/4 = 5 ± \( \sqrt{25 - 9} \)

z_1/2/3/4 = 5 ± \( \sqrt{16} \)

z_1/2/3/4 = 5 ± 4

z_1/2 = 9                z_3/4 = 1

Resubstitution:

z_1/2 = 9     Ι  \( \sqrt{  } \)       →    x₁ = 3 ;       x₂ = -3

z_3/4 = 1    Ι  \( \sqrt{  } \)         →    x₃ = 1 ;      x₄ = - 1

Answer 1

a) 2x4-8x²-90 = 0

Ich form die Gleichung mal um. 0 = 2x⁴- 8x² -90 = 0

Ich setzte für x² = z       ←Substitution

            und  x⁴ = z²

Also sieht die Gleichung so aus.

0 = 2z² - 8z - 90 = 0       Ι : 2

0 = z² -4z - 45

Jetzt setzt ich die Gleichung in die P-Q-Formel (z_1/2 = -\( \frac{p}{2} \) ±\( \sqrt{(\frac{p}{2}} \) )² - q  )

z_1/2/3/4= - ( - \( \frac{4}{2} \)) ± \( \sqrt{(- \frac{4}{2}} \) )² - (- 45) 

z_1/2/3/4 = 2 ± \( \sqrt{4+45} \)

z_1/2/3/4 = 2 ± 7

z_1/2 = 9

z_3/4 = -5

Resubstiution

z² = x

x_1/2 = ± \( \sqrt{9} \) ,   x₁ = 3  x₂ = -3

Comments

b) x⁶ -10x³+9 = 0                         

ich setzte für x⁶ = z²      ←Substitution

und für          x³ = z           

Dann bekommst du die Gleichung → 0 =  z² - 10z + 9

So jetzt setzt du es wieder in die p-q-Formel  (Die p-q-Formel habe ich oben stehen.)

z_1/2/3/4 = - (-\( \frac{10}{2} \) ) ± \( \sqrt{(- \frac{10}{2}  )²- 9} \) 

z_1/2/3/4 = 5 ± \( \sqrt{25-9} \)

z_1/2/3/4 = 5 ± \( \sqrt{16} \)

z_1/2/3/4 = 5 ± 4

z1/2 = 9

z3/4 = 1

Resubstituion

z = 9                 Ι  \( \sqrt{    } \)       ⇒       x₁ = 3,      x₂ = -3

z = 1                Ι  \( \sqrt{    } \)        ⇒         x₃ = 1        x₂ = -1

Answer 2

Hallo

a) z=x^2, z^2=x^4

b)z=x^3, z^2=x^6

dann hast du jeweils ne quadratische Gleichung in z und musst nur am Ende noch aus z x ausrechnen.

Gruß lul

Answer 3

a) ersetze x² z.B. durch z

Dann lautet die Gleichung

2z² - 8z -90 = 0

Diese kannst du dann mit der pq-Formel lösen (nachdem du  auf beiden Seiten durch 2 geteilt hast).

Anschließend die "Rücksubstitution" nicht vergessen!

(Hier: z₁ = 9 ⇒ x^2 = 9 ⇒ x₁ = 3 und x₂ = -3)

Gruß, Silvia