Portfolio eines Versicherungsunternehmens, Rücklagen

Question

Das Portfolio eines Versicherungsunternehmens besteht aktuell aus 1000 Lebensversicherungsverträgen. Pro Vertrag sind im Todesfall des Versicherten 100 000 Euro an den Begünstigten auszuzahlen. Es werde angenommen, dass die Sterbewahrscheinlichkeit einer versicherten Person im kommenden Jahr p=0.09 betrage.

Welchen Betrag sollte das Versicherungsunternehmen unter Zuhilfenahme des Zentralen Grenzwertsatzes in seine Bilanz als Rückstellungen aufnehmen, wenn dieser Betrag nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.03 überschritten werden soll? (Runden Sie das Ergebnis kaufmännisch auf eine ganze Zahl!)

Ansatz:

EW= 1000*100.000*0,9=9.000.000

Varianz= 904.986,1877

Verstehe aber nicht wie ich diese Werte jetzt in die Formel für den Zentralen Grenzwertsatz einsetze?

Vielen Dank

Answer 1

Hi,

Du hast \( n = 1000 \) Versicherungsverträge die mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von \( p = 0.09 \) bedient werden müssen. Da der zentrale Grenzwertsatz angewandt werden soll, kann von einer Normalverteilung der Schadensfälle mit \( \mu = n p = 90 \) und \( \sigma = \sqrt{ n p (1-p) } = 9.05 \) ausgegangen werden.

Die Wahrscheinlichkeit \( \mathbb{P}(X > x ) \) soll \( 0.03 \) betragen, also $$ \mathbb{P}(X > x ) = 0.03  $$ oder $$ F(x) = \mathbb{P}(X \le x ) = 0.97 $$ wobei \( F(x) \) die Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit \( \mu \) und \( \sigma \) darstellt.

Den Wert für \( x \) kann man aus Tabelen bestimmen, in dem man die standarverteilte Größe \( z = \frac{ x - \mu }{ \sigma } \) betrachtet. Man sucht in der Tabelle

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!911:Tabelle_Standardnormalverteilung

den Wert, für den \( F(z) = 0.97 \) wird, und findet \( z = \frac{x-\mu}{\sigma} = 1.89 \). Daraus folgt $$ x = 1.89 \sigma + \mu = 107.104 $$ D.h. man muss $$  x \cdot 100000 = 10'702'092 \ € $$ zurückstellen.

Comments

Vielen Dank!

Macht doch egt Sinn.. wäre glaubi aber nie drauf gekommen