Sei A≠∅ eine Menge,Betrachte die Menge F(A) := {g : A → A}.

Question

Aufgabe:

Sei A≠∅ eine Menge. Betrachte die Menge
F(A) := {g : A → A}
aller Funktionen von A nach A. Zeigen Sie, dass (F(A), ◦) ein Monoid, aber im Allgemeinen keine
Gruppe ist, wobei ◦ eine Komposition ist.

Problem/Ansatz:

Ein Monoid ist ja grundsätzlich eine Halbgruppe mit neutralem Element. Jede Gruppe ist sozusagen ein Monoid, aber ein Monoid hat im Gegensatz zur Gruppe nicht notwendigerweise inverse Elemente. Steht das nicht im Gegensatz zur Aufgabenstellung?

Wie löse ich das nun?

Answer 1

Für Monoid brauchst du

Abgeschlossenheit

Assoziativ

Und neutral:  das ist id

Aber nicht jede Abb. ist umkehrbar.

Comments

Danke für deine Schnelle Antwort.

ich weiß immer noch nicht wie ich die Aufgabe ehrlich gesag lösen soll :(

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Abgeschlossenheit:

Seien f und g  aus F(A).  zu zeigen: f ° g  aus F(A).

Bew: Sei a∈A (geht, da A nicht leer.) dann gilt

(f°g)(a) = f( g(a) ) und weil g:A--->A geht, ist g(a) ∈ A

und somit auch  f ( g(a) ) ∈ A , weil auch f:A--->A geht .

Also ist  f ° g  auch eine Abbildung von A nach A, also

f ° g  ∈  F(A).    q.e.d.

etc.