Aloha :)
Die lineare Abbildung \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\;,\;\binom{x}{y}\to\binom{y}{x}\) können wir als Matrix \(F\) schreiben:
$$f(x,y)=\binom{y}{x}=\binom{0}{1}\cdot x+\binom{1}{0}\cdot y=\left(\begin{array}{c}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\binom{x}{y}\;\;\Leftrightarrow\;\;\underline{F=\left(\begin{array}{c}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)}$$
Man kann auch sagen, die Matrix \(F\) ist die Abbildungsmatrix \(D_{EE}(f)\). Das rechte \(E\) bedeutet, dass die Abbildungsmatrix als Eingangsgröße einen Vektor erwartet, dessen Koordinaten bezüglich der Einheitsbasis \(E\) angegeben sind. Dieser Vektor wird von rechts an die Matrix multipliziert. Das linke \(E\) bedeutet, dass die Abbildung als Ausgangsgröße einen Vektor liefert, dessen Koordinaten ebenfalls bezüglich der Basis \(E\) angegeben sind.
Gegeben sind nun 2 Vektoren \(\vec b_1=(1;2)^T\;,\;\vec b_2=(3;4)^T\), die als eine weitere Basis \(B\) des \(\mathbb{R}^2\) aufgefasst werden sollen. Beachte, dass sich die Koordinaten der neuen Basisvektoren \(\vec b_i\) auf die Standardbasis \(\vec e_1=(1;0)^T\;,\;\vec e_2=(0;1)^T\) des \(\mathbb{R}^2\) beziehen. Der Vektor \((1;0)^T_B\) bezüglich der Basis \(B\) wird also auf den Vektor \((1;2)^T_E\) bezüglich der Basis \(E\) abgebildet, und der Vektor \((0;1)^T_B\) bezüglich der Basis \(B\) wird auf den Vektor \((3;4)^T_E\) bezüglich der Basis \(E\) abgebildet. Die Basiswechsel-Matrix von \(B\) nach \(E\) lautet daher:$$\text{id}_{EB}=\left(\begin{array}{c}1 & 3\\2 & 4\end{array}\right)$$
In (a) ist die Abbildungsmatrix \(D_{EB}(f)\) gesucht. Das heißt, als Eingangsgröße wird rechts ein Vektor mit Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) erwartet. Diese Koordinaten müssen wir zunächst durch Multiplikation mit \(\text{id}_{EB}\) in Koordinaten bezüglich der Basis \(E\) umrechnen, bevor wir die Abbildungsmatrix \(D_{EE}(f)\) bzw. \(F\) von oben anwenden können:$$D_{EB}(f)=D_{EE}(f)\cdot\text{id}_{EB}=\left(\begin{array}{c}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 3\\2 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 & 4\\1 & 3\end{array}\right)$$In (b) ist die Abbildungsmatrix \(D_{BB}(f)\) gesucht. Diese erhalten wir, indem wir den Ergebnisvektor von \(D_{EB}(f)\), der ja Koordinaten bezüglich der Basis \(E\) hat, in Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) umrechnen. Dazu benötigen wir die Basiswechsel-Matrix von \(E\) nach \(B\). Diese erhalten wir aus der Umkehrung der Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(E\):$$\text{id}_{BE}=\text{id}_{EB}^{-1}=\left(\begin{array}{c}1 & 3\\2 & 4\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}-2 & \frac{3}{2}\\1 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$$$D_{BB}(f)=\text{id}_{BE}\cdot D_{EB}(f)=\left(\begin{array}{c}-2 & \frac{3}{2}\\1 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2 & 4\\1 & 3\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-5 & -7\\3 & 5\end{array}\right)$$
