Verteilte Zufallsgröße zeigen

Question

Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsgröße, μ ∈ R. Zeigen Sie: Z = μ + l*X, l ∈ R ist eine N(μ, l^2)-verteilte Zufallsgröße.

Kann mir das jemand erklären?

Comments

Du hattest deine Frage in der stacklounge gestellt (Informatik).

Sie ist nun in der mathelounge (Mathematik). Gleiches Login / anderes Fach.

Was genau ist I^2 ? Ein Intervall, eine Länge oder? Das kann nicht unbedingt "Element von R sein".

Answer 1

Aloha :)

Die gegebene Zufallsgröße \(X\) ist \(N(0;1)\)-verteilt. Das heißt ihr Erwartungswert ist gleich \(0\) und ihre Varianz ist gleich \(1\). Mit zwei weiteren reellen Konstanten \(\mu\) und \(I\) wird aus \(X\) eine neue Zufallsvariable \(Z\) wie folgt definiert:$$Z:=\mu+I\cdot X\quad;\quad \mu,I\in\mathbb{R}\;\;;\;\;\left<X\right>=0\;\;;\;\;\sigma^2(X)=1$$Der Erwartungswert \(\left<\cdots\right>\) ist linear, daher gilt für den Erwartungswert von \(Z\):$$\left<Z\right>=\left<\mu+I\cdot X\right>=\mu+I\cdot\left<X\right>=\mu+I\cdot0=\mu$$Und die Varianz von \(Z\) ist:$$\sigma^2(Z)=\left<(Z-\left<Z\right>)^2\right>=\left<(Z-\mu)^2\right>=\left<(I\cdot X)^2\right>=I^2\left<X^2\right>$$$$\phantom{\sigma^2(Z)}=I^2\left<(X-0)^2\right>=I^2\left<(X-\left<X\right>)^2\right>=I^2\sigma^2(X)=I^2$$Die zusammengesetzte Zuallsvariable \(Z\) ist also \(N(\mu;I^2)\)-verteilt.

Comments

Vielen lieben Dank,

Wie zeige ich denn dann das  Z = μ + L*X mit dem Parameter μ ∈ ℝⁿ und der Diagonalmatrix L, [L regulär] ist eine N(μ,L²) verteilte Zufallsgröße

Also X sei dabei eine n-dimensionale, N(0,i)verteilte zufallsgröße.