Antwort mit KI erzeugt
Bestimmung der Basis von \( V = \text{pol}_4(\mathbb{C}) \)
Gegeben:
Eine Menge von Polynomen: \( \{1, i+X, (i+X)^2, (i+X)^3\} \)
Verfahren:
Jede Basis eines Vektorraums muss sowohl ein Erzeugendensystem sein als auch linear unabhängig. Um die Basis zu bestimmen, erstelle ich aus der gegebenen Menge eine Matrix und überprüfe die Linearkombination der Polynome.
Schritte:
1. Polynome ausdrücken: Drücke die Polynome in der Menge in ihrer expliziten Form aus.
- \( 1 \)
- \( i + X \)
- \( (i + X)^2 = i^2 + 2iX + X^2 = -1 + 2iX + X^2 \)
- \( (i + X)^3 = i^3 + 3i^2X + 3iX^2 + X^3 = -i - 3X + 3iX^2 + X^3 \)
2. Explizite Form darstellen:
- Polynome:
\( \begin{aligned} &P_1 = 1 \\ &P_2 = i + X \\ &P_3 = -1 + 2iX + X^2 \\ &P_4 = -i - 3X + 3iX^2 + X^3 \end{aligned} \)
3. Darstellung als Vektoren: In einem polynomiellen Vektorraum \(\text{pol}_4(\mathbb{C})\) sind die Basisvektoren jeweils die Koeffizienten der Polynome mit Bezug zu \(1, X, X^2\) und \(X^3\).
- Vektoren:
\( \begin{aligned} &\vec{v}_1 = (1, 0, 0, 0) \\ &\vec{v}_2 = (i, 1, 0, 0) \\ &\vec{v}_3 = (-1, 2i, 1, 0) \\ &\vec{v}_4 = (-i, -3, 3i, 1) \end{aligned} \)
4. Matrix bilden: Stelle eine Matrix \(A\) aus diesen Vektoren auf:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & i & -1 & -i \\ 0 & 1 & 2i & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 3i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
5. Rang bestimmen: Um die Linearkombination zu prüfen, bestimmen wir den Rang der Matrix \(A\).
Da \(A\) eine obere Dreiecksmatrix ist und alle Diagonalelemente ungleich null sind, hat diese Matrix den vollen Rang von \(4\). Das bedeutet, die vier Vektoren sind linear unabhängig.
6. Minimale Erzeugendenmenge: Weil die Vektoren linear unabhängig sind und den Raum \(\text{pol}_4(\mathbb{C})\) vollständig erzeugen, sind sie eine Basis.
Fazit:
Die Menge der Polynome \(\{1, i + X, (i + X)^2, (i + X)^3\}\) bildet eine Basis des Vektorraums \( V = \text{pol}_4(\mathbb{C})\).
