Menge definieren/schauen ob die Gruppe ein isomorpher Körper ist

Question

Aufgabe:

Definiere die Menge C = {(a, −b, b, a) | a, b ∈ R} ⊂ R4 mit den Verknüpfungen
Addition (+) :(a, −b, b, a) + (c, −d, d, c) = (a + c, −(b + d), b + d, a + c) ,
Multiplikation ( · ) :(a, −b, b, a) · (c, −d, d, c) = (ac − bd, −(bc + ad), bc + ad, ac − bd) .
Zeigen Sie, dass (C, +, ·) ein zu C(Das komplexe C) isomorpher Körper ist.

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht ganz wie ich die menge definieren soll bzw. ich komm nicht auf die Funktion. Und ich kriege es nicht hin die bijektivität beim isomorphen körper zu zeigen.

Hilfe wäre sehr nett. Bin wirklich am verzweifeln

Answer 1

Die Menge besteht aus allen Elementen von R^4, die von der Form

(a, −b, b, a) sind.

Und dann wird ja festgelegt wie man die addieren bzw. multiplizieren soll.

Jetzt musst du dafür die Körperaxiome überprüfen, erst mal

Abgeschlossenheit:  Seien also (a, −b, b, a) und (c, −d, d, c)  dann

gilt (a, −b, b, a) + (c, −d, d, c) = (a + c, −(b + d), b + d, a + c) ,

und das Ergebnis ist wieder in C; denn du musst ja nur schauen:

1. Komponente = 4. Komponente und

dritte gleich "minus zweite" . Das passt also, Entsprechend bei "mal"

(a, −b, b, a) · (c, −d, d, c) = (ac − bd, −(bc + ad), bc + ad, ac − bd)

da passt es auch.

Assoziativität: Also etwa

((a, −b, b, a) + (c, −d, d, c))  + ( e, -f , f , e )

= (a + c, −(b + d), b + d, a + c)   + ( e, -f , f , e )

= ((a + c)+e, -(−(b + d)+f), (b + d)+f, (a + c)+e)

und die 6 Variablen sind ja alle aus R, also kann man da

die Gesetze anwenden und umformen auf:

...

= (a + (c+e), −(b + (-d+f)) , b + (d+f) , a + (c+e))

= (a,-b,b,a) + (  (c, −d, d, c))  + ( e, -f , f , e ))

entsprechend für "mal".  und dann distributiv etc.

Das gibt viel Schreibarbeit.

neutral bei Addition ist wohl (0,0,0,0) und

bei Multiplikation  ( 1,0,0,1) .

Und ein Isomorphismus auf das "richtige" ℂ entsteht wohl

durch  (a,-b,b,a ) ---->  a+bi .  Das i entspricht dann (0,-1,1,0)

und wenn du das mit sich selbst multiplizierst gibt es (-1,0,0,-1)

das entspricht eben dem i^2 = -1 .

Comments

Vielen Dank für die Hilfe

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Noch eine Frage die vielleicht etwas blöd klingt, aber inwiefern grenzen diese kommas in den Klammern ab weil die haben mich allgemein verwirrt.

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Das sind ja Elemente von R^4, bestehen also aus 4 Komponenten,

die man mit Komma ( häufig auch mit Semikolon) voneinander trennen

kann.

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Vielen Dank nochmal. Aber könntest du mir erläutern wie man daraus eine funktion erstellen soll weil einer meiner tutoren meinte, dass das auch gefragt sei.

Mfg

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Die Funktion ist der

Isomorphismus definiert durch

(a,-b,b,a ) ---->  a+bi .