Die Menge besteht aus allen Elementen von R^4, die von der Form
(a, −b, b, a) sind.
Und dann wird ja festgelegt wie man die addieren bzw. multiplizieren soll.
Jetzt musst du dafür die Körperaxiome überprüfen, erst mal
Abgeschlossenheit: Seien also (a, −b, b, a) und (c, −d, d, c) dann
gilt (a, −b, b, a) + (c, −d, d, c) = (a + c, −(b + d), b + d, a + c) ,
und das Ergebnis ist wieder in C; denn du musst ja nur schauen:
1. Komponente = 4. Komponente und
dritte gleich "minus zweite" . Das passt also, Entsprechend bei "mal"
(a, −b, b, a) · (c, −d, d, c) = (ac − bd, −(bc + ad), bc + ad, ac − bd)
da passt es auch.
Assoziativität: Also etwa
((a, −b, b, a) + (c, −d, d, c)) + ( e, -f , f , e )
= (a + c, −(b + d), b + d, a + c) + ( e, -f , f , e )
= ((a + c)+e, -(−(b + d)+f), (b + d)+f, (a + c)+e)
und die 6 Variablen sind ja alle aus R, also kann man da
die Gesetze anwenden und umformen auf:
...
= (a + (c+e), −(b + (-d+f)) , b + (d+f) , a + (c+e))
= (a,-b,b,a) + ( (c, −d, d, c)) + ( e, -f , f , e ))
entsprechend für "mal". und dann distributiv etc.
Das gibt viel Schreibarbeit.
neutral bei Addition ist wohl (0,0,0,0) und
bei Multiplikation ( 1,0,0,1) .
Und ein Isomorphismus auf das "richtige" ℂ entsteht wohl
durch (a,-b,b,a ) ----> a+bi . Das i entspricht dann (0,-1,1,0)
und wenn du das mit sich selbst multiplizierst gibt es (-1,0,0,-1)
das entspricht eben dem i^2 = -1 .
