Zeige dass die Folge eine Cauchy Folge ist, mit |xn+1 - xn|<= 2^(-n)

Question

Aufgabe:

Sei (xn) n∈ℕ eine Folge der reellen Zahlen  mit |x(n+1) - xn| ≤ 2⁻ⁿ. Damit sollen wir zeigen dass xn eine cauchy Folge ist. Als Hilfe wurde uns gesagt, dass wir die geometrische Reihe nutzen sollen und dass |xn+k - xn| = |∑(i=0 bis k-1) von (xn+i+1 - xn+i)| ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt kein Plan wie ich da vorgehen soll. Also ich weiß wenn die Folge konvergent ist, ist es auch eine cauchy Folge, aber ich habe doch keine Folge gegeben, wie soll ich dass dann beweisen und mir wurde der Tipp gegeben dass ich darauf die Dreiecksungleochung anwenden kann aber ich wüsste nicht was mir das bringen würde. Ich weiß auch dass die Definition von der cauchy Folge ist ∀ε >0 : ∃ n₀ ∈ℕ sodass∀k,l ≥ n₀  || x_k - x₁|| < ε. 

Answer 1

Hallo

$$|x_{n+1}-x_n|=|x_{n+2}-x_{n}+x_{n+k}-x_{n+2}|<=|x_{n+2}-x_{n}|+|x_{n+k}-x_{n+2}|< 2^{-n}+|x_{n+k}-x_{n+2}|$$

jetzt mach so weiter  mit dem 2 ten Betrag,  jetzt x_n+3 reinschieben usw. (Induktion) bis du k*2^{-n} hast, dann kann man n so groß wählen dass k*2^{-n}<ε

Gruß lul

Comments

Meinst du mit dem zweiten Betrag | x_n+k - x_n+2| ? Und meinst du dass ich statt x_n+k dann x_n+3 reinschreiben? Leider verstehe ich dass alles nicht wirklich:(

Answer 2

Beweisen mußt Du folgendes:

\( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) ist eine Folge mit \( \left|a_{n}-a_{n+1}\right| \leq \frac{1}{2^{n}} \Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n, m \geq N:\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \)
Wir brauchen also eine Abschätzung für \( \left|a_{n}-a_{m}\right| \), wobei der Abstand zwischen \( n \) und \( m \) beliebig groß sein kann, haben aber nur eine Abschätzung für direkt benachbarte Folgenglieder \( \left|a_{n}-a_{n+1}\right| \leq \frac{1}{2^{n}} \). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß \( n<m \) ist. Wir schreiben \( \left|a_{n}-a_{m}\right| \) etwas um und wenden dann die Dreiecksungleichung an:
\( \left|a_{n}-a_{m}\right|=\left|a_{n}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+2}-\ldots-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m}\right| \leq \)
\( \left|a_{n}-a_{n+1}\right|+\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|+\left|a_{n+2}-a_{n+3}\right|+\ldots\left|a_{m-2}-a_{m-1}\right|+\left|a_{m-1}-a_{m}\right| \)
Jetzt können wir die Abschätzung für direkt benachbarte Folgenglieder anwenden:
\( \left|a_{n}-a_{m}\right| \leq\left|a_{n}-a_{n+1}\right|+\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|+\left|a_{n+2}-a_{n+3}\right|+\ldots\left|a_{m-2}-a_{m-1}\right|+\left|a_{m-1}-a_{m}\right| \leq \)
\( \frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{m-1}}=\sum \limits_{k=n}^{m-1} \frac{1}{2^{k}} \)

Jetzt musst Du die Summenformel für die geometrische Reihe zum Einsatz bringen.

Dreiecksungleichung ist schnell bewiesen: \( \frac{1}{2^{k}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \) also geometrische Summenformel anwenden mit \( q=\frac{1}{2} \).